На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на $\ell_1$, равны, и отрезки, высекаемые графиками на $\ell_2$, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисована парабола $y=x^2$. Для данного числа $k\gt 0$ рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно $k$. Докажите, что продолжения боковых сторон всех таких трапеций проходят через одну точку.
Ответ:
Решение:
Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям координат, причём $AB$ лежит на оси ординат, а сам квадрат расположен так, как показано на рисунке. Парабола, задаваемая уравнением \[y=\frac{1}{5}x^2+ax+b,\] проходит через точки $B$ и $C$. Кроме этого, вершина этой параболы (точка $E$) лежит на отрезке $AD$. Найдите сумму корней квадратного трёхчлена, графиком которого является парабола.
Ответ:
Решение:
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен $-5$. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты $(3,4)$, а вторая — лежит на оси ординат.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ:
Решение:
График функции $y=ax^2+bx+c$ пересекает график функции $y=|x-3|$ в трёх точках, как изображено на рисунке.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трёхчлен $P(x)$, старший коэффициент которого равен 1. На графике $y=P(x)$ отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите $P(20)$.
Ответ:
Решение:
График квадратичной функции $y=ax^2+c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены графики линейной и квадратичной функций (см. рисунок). Уравнение линейной функции имеет вид $y=cx+2c$ для некоторого числа $c$. Используя тот же параметр $c$, запишите уравнение квадратичной функции и объясните свое решение.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги построили параболу — график функции $y=ax^2+bx+c$ при $a\gt 0$, $b\gt 0$ и $c\lt 0$, — а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)
Ответ:
Решение:
График прямой $y=kx+l$ пересекает ось $Ox$ в точке $B$, ось $Oy$ — в точке $C$, график функции $y=1/x$ — в точках $A$ и $D$, как изображено на рисунке. Оказалось, что $AB=BC=CD$. Найдите $k$, если известно, что $OC=3$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(t)$ с областью определения $D(f)=[1;+\infty)$ удовлетворяет уравнению \[ f\left(\frac{2^y+2^{-y}}{2}\right)=y \] для любого $y\leqslant0$. Для каждого значения $b\neq0$ найти все решения неравенства $f\left(\frac{3b}{x+b}\right)\geqslant-2$.
Ответ:
Решение:
Про функцию $y=f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом 5, а также что $f(-1)=f(2)=-1$. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)=0$ на отрезке $[1755;2017]$?
Ответ:
Решение:
Нечётная функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента $x$ значение этой функции на 16 меньше, чем значение функции \[ g(x)=\left(x^2+x-4\right)^2. \] Найдите число корней уравнения $f(x)=0$.
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_4\dfrac{\cos2x-2\cos^2x}{\cos x-1}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_2\dfrac{\cos2x+2\sin^2x}{1-\sin3x}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции \[ f(x)=1/g\bigl(64g(16g(\log_2x))/5\bigr), \] где $g(x)=\sqrt[5]{x}+1/\sqrt[5]{x}$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ и $b$ неравенство \[ b\lt 16^{\frac{2x-1}{4x^2-4x+5}}\leqslant a \] выполняется для всех действительных $x$?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму целых чисел, которые принадлежат множеству значений функции \[ f(x)=\log_2\left(15\cos2x+17\right) \] при \[ x\in\left[\frac{5}{3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{7}\right)\cos\left(\pi+\arcsin(-0{,}8)\right);\ \operatorname{arctg}2\right]. \]
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции \[ f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{6\log_{0{,}25}^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{\sin x+15}\right)}. \]
Ответ:
Решение:
Сколько различных целых значений принимает функция $17\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$?
Ответ:
Решение: