Решение задач этого раздела следует начинать с осмысления условия и выбора подходящей системы координат, в которой наиболее просто найти координаты нужных точек и векторов.
Точка $M$ лежит на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В квадрат $ABCD$ вписан прямоугольник $MNLK$ так, что одной из его вершин является точка $M$, а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник $M_1N_1L_1K_1$ является ортогональной проекцией прямоугольника $MNLK$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали четырехугольника $MK_1L_1N$ перпендикулярны. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA'B'C'$ служит прямоугольный треугольник с катетами $AB=3$ и $AC=4$. Через середину бокового ребра $BB'=10$ параллельно $AC$ проведена прямая $l$. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки $A$ и $B$, а остальные вершины лежат на прямых $A'C$ и $l$ соответственно?
Ответ:
Решение:
Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$, точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $E$ лежит на ребре $CD$ и $EC:ED=1:2$, точка $F$ — центр грани $ABC$. Найти угол между прямыми $BC$ и $KE$, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $E$ и $F$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $ABCD$ равна $4\sqrt{3}$, $\angle DAB=\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{37}{3}}$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины ребер $AD$, $BD$, $CD$ соответственно. Найти:
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро основания $ABCD$ равно 1, а боковое ребро равно $\sqrt{\dfrac32}$. На ребре $SB$ выбрана точка $K$ так, что $BK=3KS$. Сфера $\omega$ с центром на отрезке $DK$ проходит через точки $S$ и $C$. Найти, в каком отношении центр сферы $\omega$ делит отрезок $DK$, радиус сферы $\omega$ и длину отрезка, который $\omega$ отсекает от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Грани $ABC$ и $ABD$ пирамиды $ABCD$ ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием $AB$. Известно, что $AB=1$, $CD=2$. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD$, расстояние между прямыми $AC$ и $BD$ и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение: