Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнения\[x^2+ax+2012=0\quad\text{и}\quad x^2+2012x+a=0\]имеют хотя бы один общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма модулей корней квадратного трёхчлена $x^2-5ax+4a$ равна 3.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что \[ \begin{cases} x+y=a+2,\\ xy=a^2-a+2. \end{cases} \] При каком значении $a$ сумма $x^2+y^2$ принимает наибольшее значение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых
- корни уравнения \[x^2-(a^2-a)x+a-5=0\] являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии,
- а корни уравнения \[4x^2-(a^3-a^2)x+2a^4+2a^2-a^6-4=0\] являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее возможное значение выражения $x_1^2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — действительные корни уравнения $4x^2+4(a+2)x+6a+7=0$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение числа $b$, при котором уравнение $x^2+ax+a+b=0$ имеет два решения вида $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ для некоторого $\alpha\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых оси координат и гипербола $y=\dfrac1x$ высекают на прямой $y=-18x+a$ три отрезка равной длины.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ x^2+(2+a)x-6a^2+11a=3 \] имеет два корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющие неравенству $\dfrac{2x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{2x_1}\leqslant 2$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ (a+2)x^2+(|a+3|-|a+11|)x+a=4 \] имеет два различных положительных корня.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(x^2+(2a-1)x-4a-2\right)\cdot\left(x^2+x+a\right)=0 \] имеет три различных корня.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (a+1)\left(|x-2{,}3|-1\right)^2-2(a-3)\left(|x-2{,}3|-1\right)+a-1=0 \] имеет ровно два различных решения?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение \[4ax^2+(4a-3)x+a-14=0\] имеет на отрезке $[0;1]$ единственный корень.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых существует значение параметра $b$ такое, что уравнение \[ 5x^2+(2a+9)x+7a-10b=0 \] имеет два корня $x_1$ и $x_2$ таких, что $5\leqslant x_1\leqslant10$ и $14\leqslant x_2\leqslant15$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ и $b$ уравнения \[ f(x)=0\quad\text{и}\quad f\bigl(f(x)\bigr)=0 \] равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где $f(x)=(b+1)x^2-2ax+b$?
Ответ:
Решение:
Действительное число $a$ таково, что уравнение $ax^2+(a+10)x-10-2a=0$ имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно $a$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение: