В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.
Ответ:
Решение:
Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
Ответ:
Решение:
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника?
Ответ:
Решение:
Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$, что $AB=BC$ и $AD=DC$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$, в точке $H$. Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок). Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Ответ:
Решение:
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Ответ:
Решение:
Дан правильный $4n$-угольник $A_1A_2\ldots A_{4n}$ площади $S$, причём $n\gt 1$. Найдите площадь четырёхугольника $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую — в отношении $2:1$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=12$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=6$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $BD$ и $AC$, равна $2013$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон $CD$ и $AB$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} \log_{y-x}(2y-2xy)\leqslant2,\\ |x|\leqslant4-y. \end{cases} \] Изобразить фигуру $\Phi$ и найти ее площадь.
Ответ:
Решение:
Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства \[ \bigl(y^2-\arcsin^2(\sin x)\bigr)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга $AB$ длиной $l$ перпендикулярна полу и может ездить от точки $a$ до точки $b$ (расстояние между $a$ и $b$ равно $2l$). Вторая часть конечности, штанга $BC$ длиной $2l$, свободно поворачивается относительно шарнира $B$. По штанге $BC$ ползает красящая насадка $K$.
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости изобразите множество точек $(a,b)$, для каждой из которой область определения функции \[ f(x)=\log_{\frac{2a-b-x}{2a-b+x}}\left(\dfrac{x-a-b}{x+a+b}\right) \] не содержит ни одной точки из отрезка $[1;2]$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечено множество точек $M$, координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением \[ \sin(2x+3y)=\sin2x+\sin3y. \] Круг радиуса $R$, расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M$.
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Ответ:
Решение:
На плоскости расположено множество параллелограммов, для которых
- координаты $(x;y)$ их вершин являются решениями системы \[ \begin{cases} \sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ \cos(x-y)=\sin(x+2y); \end{cases} \]
- координаты $(x;y)$ граничных точек являются решениями объединения \[ \left[\begin{aligned} &\sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ &\cos(x-y)=\sin(x+2y). \end{aligned}\right. \]
Ответ:
Решение: