На стене висят двое одинаковых часов, длина минутных стрелок которых равна $\sqrt{2}$, а центры крепления их минутных стрелок удалены друг от друга на расстояние $d=5$. Известно, что одни часы отстают на 15 мин, а другие идут точно. Найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, наблюдаемое в течение одного часа.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$, если известно, что сумма векторов $3\cdot\overrightarrow{AA_1}+4\cdot\overrightarrow{BB_1}+5\cdot\overrightarrow{CC_1}$ равна вектору с координатами $(2,1)$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$, если $AE=7$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с отношением сторон $AB:AC=5:4$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Найдите длину отрезка $AL$, если длина вектора $4\cdot\overrightarrow{AB}+5\cdot\overrightarrow{AC}$ равна $2016$.
Ответ:
Решение:
$A_1A_2\ldots A_{2015}$ — правильный 2015-угольник. $O$ — его центр. Найдите сумму векторов \[ \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\ldots+\overrightarrow{OA_{2015}}. \] Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $3$. Точка $K$ такова, что $\overrightarrow{LK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Определите, лежит ли точка $K$ внутри, на границе или вне $ABCDEF$, а также найдите длину отрезка $KC$.
Ответ:
Решение:
Векторы $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4$, расположенные в одной плоскости с вектором $\vec b$, имеют равную длину, отличную от длины вектора $\vec b$. Известно, что $\vec a_2+\vec b-2\vec a_1=8\vec a_4+\vec b-9\vec a_3=\vec 0$, $|\vec a_3-\vec b|=8$. Найдите $|\vec a_1-\vec b|$.
Ответ:
Решение:
На окружности с равными интервалами расположены 5 точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Даны два вектора $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DB}=\vec b$. Выразите вектор $\overrightarrow{EC}$ через $\vec a$ и $\vec b$.
Ответ:
Решение:
Нано-лягушка, перемещаясь по плоскости, может делать два вида действий: прыгать в направлении взгляда ровно на 1 метр и изменять направление взгляда на угол, кратный 45 градусам.
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
Ответ:
Решение:
Угол, образованный биссектрисами внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$, равен $80^\circ$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Две стороны треугольника равны $34$ и $32$, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $17$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Длины сторон треугольника $ABC$ равны $13$, $22$ и $27$. $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, а $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ — его высоты. Найдите длину замкнутой ломаной $A_1B_2C_1A_2B_1C_2A_1$.
Ответ:
Решение:
Точка $D$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$, $DE$ и $DF$ — биссектрисы треугольников $ABD$ и $CBD$. Отрезки $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $M$. Найдите отрезок $DM$, если $EF=6$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса внутреннего угла при вершине $A$ и биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E$. Найдите $\angle BAC$, если $\angle BEC=69^\circ$. Ответ укажите в градусах.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведены биссектрисы $AP$ и $CQ$. Точки $M$ и $N$ — проекции точек $Q$ и $P$ на сторону $AC$ соответственно. Найдите $MN$, если расстояние от вершины $B$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равно $17\sqrt{2}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$; точка $H$ лежит между точками $B$ и $D$. Известно, что $BH=1$, $HD=3$, $CD=12$. Найдите $\sin\angle HAD$.
Ответ:
Решение:
$AZ$ и $CX$ — биссектрисы треугольника $ABC$, а $Y$ — их точка пересечения. Найдите длину стороны $AC$ этого треугольника, если $\angle ABY=\alpha$, площадь треугольника $ABC$ равна $S$, а площади треугольников $ABZ$ и $ACX$ равны.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $2$. На его стороне $AC$ выбрана такая точка $D$, что $BD=4$, а $\angle ADB=60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BL$. Найдите все возможные значения периметра треугольника $ABC$, если длина стороны $AB$ равна 7, а длины двух других сторон выражаются целыми числами.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ACB$, если $AB:OC=2$.
Ответ:
Решение: