Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Ответ:
Решение:
Длины сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны 20 и 23 соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $CD$ и пусть $X$ — такая точка на плоскости, что $A$ — середина отрезка $XM$. Найдите площадь треугольника $XBD$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB=10$, $BC=12$ отметили точку $M$ — середину стороны $CD$. На отрезке $BM$ отметили точку $P$ так, что $BC=BP$. Найдите площадь четырехугольника $ABPD$.
Ответ:
Решение:
Квадраты со сторонами 11, 9, 7 и 5 расположены примерно так, как на рисунке. Оказалось, что площадь серых частей в два раза больше, чем площадь черных частей. Найдите площадь белых частей.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади $S$ проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.
Ответ:
Решение:
Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$?
Ответ:
Решение:
Через точку $P$ проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рисунок). Докажите, что площади треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равны.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $AY$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что площадь треугольника $XBY$ больше площади треугольника $XTY$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$. Отрезки $AB$ и $CD$ — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне $AB$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX=6$, $XY=8$, $YB=10$. Известно, что расстояния от точек $X$ и $Y$ до прямой $CD$ равны 23 и 27 соответственно.
1. Найдите площадь треугольника $ACD$.
2. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
1. Найдите площадь треугольника $ACD$.
2. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см$^2$) численно равна периметру (измеренному в см)?
Ответ:
Решение:
Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.
Ответ:
Решение:
Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом?
Ответ:
Решение:
Продолжения медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают его описанную окружность в точках $A_0$, $B_0$ и $C_0$ соответственно. Оказалось, что площади треугольников $ABC_0$, $AB_0C$ и $A_0BC$ равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$. Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины отрезка, соединяющего середины сторон $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
На отрезке $XY$ как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка $Z$ на этом отрезке. Девять лучей из точки $Z$ делят развернутый угол $XZY$ на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_9$ соответственно (в порядке обхода от $X$ к $Y$). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_2ZA_3$ и $A_7ZA_8$ равна площади четырехугольника $A_2A_3A_7A_8$.
Ответ:
Решение:
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $\angle APB=\angle BQC$. Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX\parallel AB$ и $PX\parallel BC$. Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам.
Ответ:
Решение:
Прямая пересекает основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точке $D$, боковую сторону $AB$ в точке $E$ и луч $CB$ в точке $F$, причём $\angle ADE=\angle CDB$. Докажите, что площади треугольников $BCE$ и $AEF$ равны.
Ответ:
Решение: