Положительные действительные числа $x$, $y$ удовлетворяют равенствам \[y=\sqrt[3]{x}\quad\text{и}\quad x^y=y^x.\] Чему может быть равно $xy$? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
Найдите произведение всех значений $x$, при каждом из которых \[ \Bigl(\sqrt{4-\sqrt{11}}\Bigr)^{x^2-9x+11},\quad 2^{x^2-9x+11},\quad \Bigl(\sqrt{4+\sqrt{11}}\Bigr)^{x^2-9x+11} \] — арифметическая прогрессия.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары целых, положительных чисел $(m,n)$, связанных соотношением \[ 3m+2n=19, \] найти решение $x$ уравнения \[ 2^{r_n x}+r_m\cdot 2^x-8=0, \] где $r_k$ — остаток от деления $k$ на 3.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[\begin{cases}\dfrac{9-4^{y+1}-3^x\cdot 2^{y+2}-9^x}{4^{y+1}+3^x\cdot 2^{y+1}-3^{x+1}-9}=\dfrac{3^x+2^{y+1}-3}{3^x-1},\\ 3^{x-1}\cdot 2^{y+1}=1.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2^{x+2y}+2^x=3\cdot2^y,\\ 2^{2x+y}+2\cdot2^y=4\cdot2^x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: