Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\text{tg}^2\,\alpha}\right)^2$ и вычислить его значение при $\displaystyle\alpha=\frac{5\pi}{12}$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle y=\frac{1}{2\cos2x+4\sqrt3\sin x-10}$ и указать значения $x$, при которых они достигаются.
Ответ:
Решение:
Найти область определения функции: $\displaystyle y=\frac{\text{arccos}\,\left(\frac{|x|}{2}-5\right)}{\sqrt{x^2+2x-99}}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить:
а) $\displaystyle\arccos\cos\frac{53\pi}{9}$,
б) $\displaystyle\arcsin\sin\frac{41\pi}{8}$,
в) $\arcsin\sin 3$.
а) $\displaystyle\arccos\cos\frac{53\pi}{9}$,
б) $\displaystyle\arcsin\sin\frac{41\pi}{8}$,
в) $\arcsin\sin 3$.
Ответ:
Решение:
Вычислить:
а) $\displaystyle \sin\left(\frac12\arccos\frac{3}{5}\right)$;
б) $\displaystyle \cos\left(2\arcsin\frac45\right)$;
в) $\displaystyle \text{arctg}\,2+\text{arctg}\,3$.
а) $\displaystyle \sin\left(\frac12\arccos\frac{3}{5}\right)$;
б) $\displaystyle \cos\left(2\arcsin\frac45\right)$;
в) $\displaystyle \text{arctg}\,2+\text{arctg}\,3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=f(x)=2\cos 2x+4\sin x+5$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{6};~\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=f(x)=\cos 2x+2\cos x+1$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{3};~\pi\right]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \left[\sqrt{45-\sqrt{2023}}-\sqrt{45+\sqrt{2023}}\right], \] где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$).
Ответ:
Решение:
Сравните число \[ \sqrt{\left|8\sqrt3-16\right|}-\sqrt{8\sqrt3+16} \] и наименьший корень уравнения $4x^2+21x+17=0$.
Ответ:
Решение:
Вычислить $\frac{1580\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$, где $x=\frac12\left(\sqrt{\frac{2016}{1580}}-\sqrt{\frac{1580}{2016}}\right)$.
Ответ:
Решение:
Доказать формулу «сложного корня» \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \] и с ее помощью вычислить величину $\left(\dfrac{\sqrt{13+\sqrt{48}}-1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}\right)^2$.
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: \[ \underbrace{\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\ldots}}}}}}_{2018\text{ знаков корня}}\quad\text{или}\quad 17\sqrt[3]{\dfrac{13}{17}}\,? \]
Ответ:
Решение:
Найдите целую часть числа $a+\dfrac{9}{b}$, где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная часть числа $\sqrt{76-42\sqrt3}$.
Ответ:
Решение:
Число $x=2^1+2^0+2^{-1}+2^{-2}+\ldots+2^{-2021}$. Найдите значение выражения \[ \sqrt{2x+4\sqrt{2x-4}}+\sqrt{2x-4\sqrt{2x-4}}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: