Пусть $x$ и $y$ — положительные числа, удовлетворяющие соотношению \[x^3+y^3+(x+y)^3+33xy=2662.\] Найдите минимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Числа $a, b, c$ удовлетворяют равенству \[ 10\bigl(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\bigr)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b), \] причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы \[ S=a+b+c. \]
Ответ:
Решение:
Про действительные числа $x$, $y$, $z$ известно, что \[ xy+z=yz+x=zx+y. \] Докажите, что какие-то два из чисел $x$, $y$, $z$ равны.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}.\] Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Ответ:
Решение:
Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 7(x^3+y^3)+11(x+y)^3-63xy+486=0. \] Найдите максимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение: