Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро пирамиды $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $AC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $NN_{1}$ и $KN$ куба $KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$ отмечены точки $P$ и $Q$, причём $\displaystyle\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$, $\displaystyle\frac{NP}{PN_{1}}=4$. Через точки $M_{1}$, $P$ и $Q$ проведена плоскость. Найдите расстояние от точки $K$ до этой плоскости, если ребро куба равно 3.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-2, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$ и $C(2, 0, 1)$ расположены на окружности основания прямого кругового конуса высотой $4\sqrt2$. Найти объём конуса и координаты его вершины.
Ответ:
Решение:
Точки $A(-1, 1, 1)$, $B(-1, 3, 5)$, $C(3, 3, 5)$ и $D$ являются вершинами основания четырехугольной пирамиды $ABCDS$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$, а вершина $S$ пирамиды проецируется в точку пересечения его диагоналей. Высота пирамиды равна $2\sqrt5$. Найти координаты вершин $D$ и $S$ пирамиды, а также её объём.
Ответ:
Решение:
Найти координаты проекций точек $A(1, 1, 3)$, $B(3, 1, 1)$, $C(0, 2, 1)$ на плоскость $x+y+z=0$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(-2, 2, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=6$ и боковыми сторонами $AB=AC=5$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{12}{5}$. Найти объём призмы.
Ответ:
Решение:
В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=2:3$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $4\pi\sqrt3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписана правильная треугольная призма $LMNL_{1}M_{1}N_{1}$. Все три вершины основания $LMN$ призмы лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что $LL_{1}=LM$, т. е. высота призмы равна стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды равно $a$. Чему равен объём призмы?
Ответ:
Решение:
В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписана правильная четырёхугольная пирамида $OLMNP$. Все четыре вершины основания вписанной пирамиды лежат на апофемах пирамиды $SABCD$. Вершина вписанной пирамиды — точка $O$ — совпадает с центром основания $ABCD$ пирамиды $SABCD$. Известно, что $OL=LM$, т. е. боковое ребро вписанной пирамиды равно стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды $SABCD$ равно $a$. Чему равен объём вписанной пирамиды?
Ответ:
Решение:
В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании $ABCD$ пирамиды. Все четыре вершины противоположной грани куба лежат на апофемах пирамиды. Известно, что $SA=AB=a$, т. е. боковое ребро пирамиды равно $a$ и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.
Ответ:
Решение:
Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Высота правильной четырёхугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
В прямом параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с основаниями $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=29$, $AD=36$, $BD=25$, $AA_{1}=48$. Найдите площадь сечения $AB_{1}C_{1}D$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=AA_{1}=14$. Точка $M$ "--- середина ребра $CC_{1}$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A_{1}$, $D$ и $M$.
Ответ:
Решение:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.
Ответ:
Решение: