Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;y)$, при которых является верным равенство \[x^2+x+5y=1\,000\,002.\]
Ответ:
Решение:
Известно, что число $3x-11y$ делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число $4x+20y$ при делении на число 130, если известно, что $x$ и $y$ — целые?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $11m+3n$ делится на 23, следует, что $17m+xn$ также делится на 23 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $15m+4n$ делится на 31, следует, что $17m+xn$ также делится на 31 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $291000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $291$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на $3$, $5$ и $6$ в остатке $1$, а при делении на $11$ — остаток $5$.
Ответ:
Решение:
Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?
Ответ:
Решение:
Радикалом натурального числа $N$ (обозначается $\operatorname{rad}(N)$) называется произведение всех простых делителей числа $N$, взятых по одному разу. Например, $\operatorname{rad}(120)=2\cdot 3\cdot 5=30$. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел $A$, $B$, $C$, что $A+B=C$ и $C\gt 1000\cdot\operatorname{rad}(ABC)$?
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ выписали все его натуральные делители $p_l$ в порядке возрастания: $1=p_1\lt p_2\lt \ldots\lt p_k=N$. Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $\sigma(N)$. Найдите все возможные значения $\sigma(N^3)$, если известно, что \[ p_3\cdot p_4\cdot p_{1876}\cdot p_{1877}\geqslant N^2. \]
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\gt 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Ответ:
Решение:
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идёт стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных квадратных трехчленов \[ f(x)=x^2+px+q \] с целыми коэффициентами $p$, $q$, для которых выполнены два условия:
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=p$ для любого простого числа $p$. Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant18$, $1\leqslant y\leqslant18$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/2]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 21$, $1\leqslant y\leqslant 21$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение: