Найти целые положительные числа $x$ и $y$, для которых $x+y=12$ и \[ x\cdot\text{НОД}(x,y)=\text{НОК}(x,y). \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество упорядоченных пар натуральных чисел $(a,b)$ таких, что $\text{НОК}(a,b)=16!$ и $\text{НОД}(a,b)=30$.
Ответ:
Решение:
Пару взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$ назовём забавной, если $|a-b|\lt 5$. Найдите количество забавных пар чисел $(x,y)$ таких, что $60\leqslant x\lt y\leqslant 160$.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[ \begin{cases} 10\cdot\min(a;b)+\max(a;b)=2a+3b,\\ \bigl(\min(a;b)\bigr)^2+\text{НОД}(a;b)=6. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[\begin{cases} \min(a;b)=7|a-b|,\\ 7\cdot\max(a;b)=8\bigl(\text{НОД}(a;b)\bigr)^2-64.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac{a}{b}$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[ \dfrac{a+b}{a^2-8ab+b^2}. \] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac ab$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[\dfrac{a+b}{a^2-6ab+b^2}.\] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $11n+6$ и $23n+5$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $13n+6$ и $17n+1$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Вершины $1000$-угольника последовательно занумеровали числами от $1$ до $1000$ и принялись закрашивать каждую $15$-ю вершину: сначала первую, потом $16$-ю, потом $31$-ю и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока можно закрашивать новые вершины. Сколько вершин останутся в итоге незакрашенными?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(x,y)$ удовлетворяют равенству \[ \text{НОД}(x,y)+\text{НОК}(x,y)=2011\ ? \]
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $\text{НОД}(m,n)=1$. Какое наибольшее значение может принимать $\text{НОД}(20m+n,30n+m)$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Какое количество натуральных чисел $a$ обладает следующим свойством: «Наименьшее общее кратное чисел $16$, $50$ и $a$ равняется $1200$»?
Ответ:
Решение:
На цветочном рынке Маша купила $156$ хризантем, $312$ тюльпанов и $390$ роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что $N+2$ делится (без остатка) на 2, $N+3$ — на 3, $\ldots$, $N+10$ — на 10.
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно $2$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых натуральных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ таких, что \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_k}\gt 1,\] у уравнения \[\left[\frac{n}{a_1}\right]+\left[\frac{n}{a_2}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{a_k}\right]=n\] не больше чем $a_1a_2\ldots a_k$ решений в натуральных числах. ($[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что все числа $x+y^2+z^2$, $x^2+y+z^2$ и $x^2+y^2+z$ целые. Верно ли, что число $2x$ целое?
Ответ:
Решение: