Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle B=30^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$, а на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ так, что $KL=KM$ (точка $L$ лежит на отрезке $BM$).
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Окружность с центром в $A$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $E$, а окружность с центром в $B$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $D$. Найдите $ED$, если $AD=16$, $BE=50$.
Ответ:
Решение:
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны $\sqrt{3}$. Найдите разность периметров этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть $X$ и $Y$ — проекции точек $B$ и $C$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если $AB=20$, $AC=21$.
Ответ:
Решение:
У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Найти острые углы и площадь прямоугольного треугольника, если угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла треугольника, равен $\alpha$, а длина биссектрисы равна $l$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ принадлежит катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, причем $AM=2$, $MC=16$. Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMB$. Точка $D$ расположена на прямой $MH$ так, что угол $ADB$ равен $90^\circ$, и точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Найдите длину отрезка $BL$, если $L$ — точка пересечения $BD$ и $AC$, а тангенс угла $ACH$ равен $1/18$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$. Луч с началом в точке $B$ наклонен под углом $45^\circ$ к гипотенузе и пересекает отрезки $CH$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $\angle BAC$, если известно, что периметры треугольников $BCM$ и $MCN$ равны.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ делят сторону $AC$ треугольника $ABC$ на три части, каждая из которых равна 2, причём $AB\perp BM$, $BC\perp BN$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $DE\perp AB$. Найдите отношение $AD:AC$ и площадь треугольника $AED$, если известно, что $AC=\sqrt7$, $BC=2\sqrt{\frac73}$, а $\angle CED=30^\circ$.
Ответ:
Решение:
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^\circ$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AC$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$. Найти косинус угла $HBM$, если $AB=1$ и $BC=2$.
Ответ:
Решение:
Найти основание равнобедренного треугольника, если его площадь равна 27, а тангенс угла при основании равен 3.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Доказать, что $A_1C \cdot BC = B_1C \cdot AC$.
Ответ:
Решение:
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$. Найти другой катет.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12, а синус острого угла при основании равен $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Найти гипотенузу $AB$ и катет $BC$, если $AC=2$, $\displaystyle CH=\frac{6}{\sqrt{13}}$.
Ответ:
Решение:
Найти катеты прямоугольного треугольника, если его площадь равна 27, а косинус острого угла $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{13}}$.
Ответ:
Решение:
Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен $120^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.
Ответ:
Решение:
Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$, а большая боковая сторона равна $6\sqrt{3}$. Найдите вторую боковую сторону трапеции.
Ответ:
Решение: