Решите уравнение \[ \cos\left(x^2+x\right)+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \cos\left(11x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(17x+\dfrac{\pi}{4}\right). \]
Ответ:
Решение:
Дана функция $f(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^6x+\cos^6x}$. Найти:
1) корни уравнения $f(x)=\frac{10}{7}$;
2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$.
1) корни уравнения $f(x)=\frac{10}{7}$;
2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Дана функция $g(x)=\dfrac{4\sin^4x+5\cos^2x}{4\cos^4x+3\sin^2x}$. Найдите:
а) корни уравнения $g(x)=\dfrac75$;
б) наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)$.
а) корни уравнения $g(x)=\dfrac75$;
б) наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)$.
Ответ:
Решение:
Найти $x$, при котором выражение $\left(\sin^2 x-\cos x-1/4\right)^2+(\cos 2x+\cos x)^2$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Функция $t(x)$ определена на всей числовой оси так, что $t(x)=0$ для всех $x\leqslant0$ и $t(x)=1$ для $x\gt 0$. Решить уравнение $\sin2x=0{,}5\cdot t\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1{,}5\cdot t(x-\pi)+t(x-2\pi)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin3x}=\dfrac{1}{\sin x+\sin2x+\sin3x} \] при условии, что $\sin x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Найти на интервале $(0;2\pi)$ наибольшее решение уравнения \[ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^3=\sin^3 x+\sin^3 2x+\sin^3 3x. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение функции $y=24\pi x/(9\pi^2+16x^2)$ на множестве решений уравнения $\sin x\cdot\cos 2x-2\cos^3 x+\cos 2x-\sin x+2\cos x=1$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольной полоске \[ 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -1\leqslant y\leqslant 1 \] построили графики функций \[ y=\sin k\pi x\quad\text{для всех } k\in\{11,13,17\}. \] На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?
Ответ:
Решение:
Докажите, что уравнение \[ \sin(2020x)+\cos(2020x)=\dfrac{x}{5050}+1 \] имеет по крайней мере $8000$ корней, принадлежащих отрезку $[-2\pi;2\pi]$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар $(x;y)$ таких, что $x,y\in\mathbb{Z}$ и \[ \begin{cases} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi y}{2}\right),\\ \cos\left(\dfrac{2\pi x+\pi y}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi y}{12}\right),\\ |2x+y-45|+|y|\leqslant 45. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество множителей вида $\sin\dfrac{n\pi}{x}$ можно вычеркнуть в левой части уравнения \[\sin\frac{\pi}{x}\sin\frac{2\pi}{x}\sin\frac{3\pi}{x}\ldots\sin\frac{2015\pi}{x}=0\] так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Ответ:
Решение: