Решите в действительных числах систему уравнений \[ \begin{cases} x+y+2-4xy=0,\\ y+z+2-4yz=0,\\ z+x+2-4zx=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{xy}{x+y}=1,\\[2mm] \dfrac{yz}{y+z}=2,\\[2mm] \dfrac{xz}{x+z}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений \[\begin{cases} xy=3z+z^2,\\ yz=3x+x^2,\\ zx=3y+y^2.\end{cases}\] Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2+(y+3)^2+(z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x-y-3xy=-1,\\ 9x^2y^2+9x^2+y^2-6xy=13. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя задумал пять чисел. На доске он написал их попарные суммы: $7$, $9$, $12$, $16$, $17$, $19$, $20$, $21$, $22$, $29$. Какие числа задумал Петя?
Ответ:
Решение:
Найти $a$, $b$ и $c$, для которых $ar_n+br_{n+1}+cr_{n+2}=6$ для всех натуральных $n$, где $r_k$ — остаток от деления $k$ на $3$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^{11}+x^{10}+\ldots+x+1\right)=\left(x^7+x^6+\ldots+x+1\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество общих точек графиков функций \[y=x^3+6x\quad\text{и}\quad y=12x^2+1,\] а также абсциссы этих точек.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2+\ldots+x^{10}\right)=\left(1+x+x^2+\ldots+x^6\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Дано действительное число $t$, отличное от $0$, $1$, $-1$, $\frac{1}{2}$ и $2$. Решите уравнение\[\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}=\frac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2}.\]Ответ может зависеть от $t$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике длины катетов равны $|2x-2|$ и $|x^2+3x|$, а длина гипотенузы равна $|3x+1|$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x+3\right)\left(x^2+3x+4\right)\left(x^2+3x+5\right)=15. \]
Ответ:
Решение:
Корни уравнения \[ x^3-\frac{32}{p}x^2+\frac{5}{\sqrt p}x-\frac{15}{64}=0 \] являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения \[ x^3-\frac13\left|\log_2p\right|x^2+\left(\log_{8\sqrt2p}p\right)x-\frac{1}{11+\sqrt p}=0 \] — длинами высот этого же треугольника. Найти $p$ и площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Васе задали на дом уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, где $p_1$ и $q_1$ — целые числа. Он нашел его корни $p_2$ и $q_2$ и написал новое уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$. Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[x^3-ax^2-(a^3-6a^2+5a+8)x-(a-3)^3=0\] имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию (укажите эти корни).
Ответ:
Решение:
Рассматриваются многочлены вида \[ P(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+128 \] с неотрицательными коэффициентами $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь $P(8)$?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что $c\gt ab$.
Ответ:
Решение: