На шкуре у Носорога складки — вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку $a$ вертикальных, $b$ горизонтальных складок, а на правом — $c$ вертикальных и $d$ горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии $((a;b);(c;d))$ или просто Носорог $((a;b);(c;d))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.
Ответ:
Решение:
Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010.
Ответ:
Решение:
По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче — величина случайная. Найдите ее математическое ожидание.
Ответ:
Решение:
На рулетке может выпасть любое число от 0 до 2007 с одинаковой вероятностью. Рулетку крутят раз за разом. Обозначим $P_k$ вероятность того, что в какой-то момент сумма чисел, выпавших при всех сделанных бросках, равна $k$. Какое число больше: $P_{2007}$ или $P_{2008}$?
Ответ:
Решение:
Точка выходит из начала координат на прямой и делает $a$ шагов на единицу вправо, $b$ шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём $a\gt b$. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим $P_n$ вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна $n$. Докажите, что при $n\geqslant 7$ верно равенство $P_n=\frac{P_{n-1}+P_{n-2}+\ldots+P_{n-6}}{6}$.
Ответ:
Решение:
Весь март семиклассник Иванов вёл дневник наблюдений за погодой. Каждый день ровно в 3 часа дня он выглядывал в кухонное окно, смотрел на уличный термометр и записывал в дневник температуру воздуха. После статистической обработки получилось:
- Средняя температура за март: $\bar{x}=0$ (градусов Цельсия).
- Медиана: $m=4$ (градуса Цельсия).
- Дисперсия: $S^2=15{,}917$ (вероятно, квадратных градусов или градусов Квадратного Цельсия, но это Иванова не волновало).
Ответ:
Решение:
В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина $A$ разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина $A$ называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.
Ответ:
Решение:
Среднее арифметическое отметок по математике в первой четверти у Васи равнялось 3,41 — с округлением вниз до сотых. Вася написал проверочную работу на пятёрку, но при этом его средний балл всё же не достиг 3,5. Какое наименьшее число отметок по математике могло быть у Васи до того, как он написал проверочную?
Ответ:
Решение:
Витя коллекционирует игрушечные автомобили серии «Ретро». Проблема в том, что общее число различных моделей в серии неизвестно — это самый большой коммерческий секрет, но зато известно, что разные автомобили выпускаются одинаковым тиражом, и поэтому можно считать, что все модели распределены равномерно и случайно по разным интернет-магазинам.
На разных сайтах Витя нашел несколько предложений, но при ближайшем рассмотрении выяснилось, что среди предлагаемых машинок только 12 различных. Витя уже почти уверен, что всего машинок только 12 и что дальнейший поиск бесполезен. Но кто знает?
Сколько еще предложений от других магазинов должен рассмотреть Витя, чтобы убедиться в том, что моделей в серии всего 12? Витя считает себя убежденным в чем-то, если вероятность этого события выше, чем 0,99.
На разных сайтах Витя нашел несколько предложений, но при ближайшем рассмотрении выяснилось, что среди предлагаемых машинок только 12 различных. Витя уже почти уверен, что всего машинок только 12 и что дальнейший поиск бесполезен. Но кто знает?
Сколько еще предложений от других магазинов должен рассмотреть Витя, чтобы убедиться в том, что моделей в серии всего 12? Витя считает себя убежденным в чем-то, если вероятность этого события выше, чем 0,99.
Ответ:
Решение:
У Вали в шкатулке лежали пять разноцветных ленточек длиной 15, 20, 24, 26 и 30 см. Коля отрезал от некоторых (возможно, от всех) ленточек по кусочку. Средняя длина ленточек уменьшилась на 5 см, а медиана и размах длин не изменились. Чему теперь равны длины ленточек?
Ответ:
Решение:
Используя каждую цифру от 1 до 9 ровно один раз, составьте набор из трех однозначных и трех двузначных чисел с наибольшим возможным стандартным отклонением.
Ответ:
Решение:
Используя каждую цифру от 1 до 9 ровно один раз, составьте набор из трех однозначных и трех двузначных чисел с наименьшим возможным стандартным отклонением.
Ответ:
Решение:
На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Принято правило: если стандартное отклонение десяти случайных измерений превосходит 5 % номинальной массы порции, то автомат требует ремонта.
Для проверки автомата юный стажёр Иванов взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом, с точностью до грамма и записал в таблицу, на сколько граммов порции отличаются в ту или иную сторону от номинальной массы 400 г.
Молодой инженер Петров рассердился и сказал, что вся работа насмарку, поскольку знаки отклонений неизвестны, и он не может вычислить ни стандартное отклонение, ни даже среднее арифметическое.
Опытный мастер Сидоров лишь покачал головой и заявил, что всё не так плохо. Конечно, найти стандартное отклонение невозможно, но можно математически доказать, что автомат ремонта не требует. Как мог рассуждать мастер Сидоров?
Для проверки автомата юный стажёр Иванов взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом, с точностью до грамма и записал в таблицу, на сколько граммов порции отличаются в ту или иную сторону от номинальной массы 400 г.
| Номер порции | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Отличие от 400 г | 12 | 32 | 18 | 19 | 28 | 15 | 7 | 22 | 12 | 21 |
Опытный мастер Сидоров лишь покачал головой и заявил, что всё не так плохо. Конечно, найти стандартное отклонение невозможно, но можно математически доказать, что автомат ремонта не требует. Как мог рассуждать мастер Сидоров?
Ответ:
Решение:
Изучая статистику, Сергей придумал новый метод вычисления среднего арифметического. Сергей рассуждал так.
Я в уме легко найду среднее двух чисел. Сначала упорядочу все числа. Затем наименьшее и наибольшее числа заменю их средним арифметическим. Потом заменю второе и предпоследнее по величине числа их средним и так далее. Может быть, у меня останется одно число без пары, но все равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его ещё раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.
Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора (9, 2, 6, 5, 8). Упорядочу его: (2, 5, 6, 8, 9). Теперь числа 2 и 9 заменяю их средним 5,5, числа 5 и 8 заменяю их средним 6,5, и остаётся число 6 без пары. Получается набор (5,5, 6, 6,5). Числа 5,5 и 6,5 заменяю их средним 6. Получается набор (6, 6), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 6.
а) Покажите, что для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора этот способ не годится.
б) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Прав ли Пётр? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способ Сергея работал верно?
Я в уме легко найду среднее двух чисел. Сначала упорядочу все числа. Затем наименьшее и наибольшее числа заменю их средним арифметическим. Потом заменю второе и предпоследнее по величине числа их средним и так далее. Может быть, у меня останется одно число без пары, но все равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его ещё раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.
Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора (9, 2, 6, 5, 8). Упорядочу его: (2, 5, 6, 8, 9). Теперь числа 2 и 9 заменяю их средним 5,5, числа 5 и 8 заменяю их средним 6,5, и остаётся число 6 без пары. Получается набор (5,5, 6, 6,5). Числа 5,5 и 6,5 заменяю их средним 6. Получается набор (6, 6), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 6.
а) Покажите, что для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора этот способ не годится.
б) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Прав ли Пётр? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способ Сергея работал верно?
Ответ:
Решение:
Изучая статистику, Сергей придумал новый метод вычисления среднего арифметического. Сергей рассуждал так.
Пусть нам дан набор чисел. Я в уме легко найду среднее двух чисел. Все числа разобью на пары и найду среднее в каждой паре. Если числа целые, буду стараться составлять пары из двух чётных или двух нечётных чисел, чтобы было легче считать. Может быть, у меня останется одно число без пары, но все равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его еще раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.
Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора (1, 7, 4, 5, 8). Числа 1 и 7 заменяю их средним 4, числа 4 и 8 заменяю их средним 6, и остаётся число 5 без пары. Получается набор (4, 5, 6). Тогда 4 и 6 заменяю их средним 5. Получается набор (5, 5), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 5.
а) Покажите, что для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора этот способ не годится.
б) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Правда ли это? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способ Сергея работал верно?
Пусть нам дан набор чисел. Я в уме легко найду среднее двух чисел. Все числа разобью на пары и найду среднее в каждой паре. Если числа целые, буду стараться составлять пары из двух чётных или двух нечётных чисел, чтобы было легче считать. Может быть, у меня останется одно число без пары, но все равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его еще раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.
Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора (1, 7, 4, 5, 8). Числа 1 и 7 заменяю их средним 4, числа 4 и 8 заменяю их средним 6, и остаётся число 5 без пары. Получается набор (4, 5, 6). Тогда 4 и 6 заменяю их средним 5. Получается набор (5, 5), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 5.
а) Покажите, что для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора этот способ не годится.
б) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Правда ли это? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способ Сергея работал верно?
Ответ:
Решение:
Пусть даны два числовых набора: $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ и $Y=\{y_1,y_2,\ldots,y_m\}$. В первом $n$ чисел, во втором — $m$ чисел. Прямой суммой или просто суммой $X\oplus Y$ этих наборов назовём набор, состоящий из всевозможных сумм $x_k+y_j$. Всего в наборе $X\oplus Y$ ровно $mn$ чисел. Сумму наборов удобно представить таблицей. На рис. 4 показана сумма наборов $X=\{1,\ 2,\ 3\}$ и $Y=\{0,\ 4,\ 5\}$. Если записать эту сумму в строчку и заодно упорядочить по возрастанию, получится $$X\oplus Y=\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8\}.$$
Рис. 4
Рассмотрим медианы данных наборов и медиану их суммы. Медиана первого набора $M_X=2$, медиана второго равна $M_Y=4$, а медиана их суммы равна $M_{X\oplus Y}=6$ (на рисунке все три медианы выделены). Получилось равенство $M_{X\oplus Y}=M_X+M_Y$. Всегда ли медиана суммы равна сумме медиан?
а) Приведите какой-нибудь пример двух числовых наборов, у которых медиана их суммы отличается от суммы их медиан на 1.
б) Однажды Рассеянный Учёный изучал два таинственных числовых набора. Про первый набор ничего не известно вообще, а про второй известно, что его наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 5. Несмотря на скудость этих данных, Учёный путем сложных вычислений нашёл, что медиана суммы этих двух наборов больше суммы их медиан на 4,5. Может ли такое быть? Приведите пример таких двух наборов или докажите, что их не существует.
Рис. 4
Рассмотрим медианы данных наборов и медиану их суммы. Медиана первого набора $M_X=2$, медиана второго равна $M_Y=4$, а медиана их суммы равна $M_{X\oplus Y}=6$ (на рисунке все три медианы выделены). Получилось равенство $M_{X\oplus Y}=M_X+M_Y$. Всегда ли медиана суммы равна сумме медиан?
а) Приведите какой-нибудь пример двух числовых наборов, у которых медиана их суммы отличается от суммы их медиан на 1.
б) Однажды Рассеянный Учёный изучал два таинственных числовых набора. Про первый набор ничего не известно вообще, а про второй известно, что его наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 5. Несмотря на скудость этих данных, Учёный путем сложных вычислений нашёл, что медиана суммы этих двух наборов больше суммы их медиан на 4,5. Может ли такое быть? Приведите пример таких двух наборов или докажите, что их не существует.
Ответ:
Решение:
В школьном совете выбирают председателя. Кандидатов четверо: А, Б, В и Г. Предложена специальная процедура — каждый член совета должен записать на специальном листке кандидатов в порядке своих предпочтений. Например, АВГБ значит, что член совета на первое место ставит А, не очень возражает против В и считает, что он лучше, чем Г, зато меньше всего хотел бы видеть председателем Б.
Первое место даёт кандидату 3 очка, второе — 2 очка, третье — 1 очко, а четвертое — 0 очков. После сбора всех листков, избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Побеждает тот, у кого наибольшая сумма очков.
После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из всех листков. В каждом листке осталось три кандидата. Поэтому первое место стало стоить 2 очка, второе — 1 очко, а третье — 0 очков. Очки просуммировали заново.
Могло ли случиться так, что кандидат, который прежде имел больше всех очков, после самоотвода В получил меньше всех? Если могло, приведите пример, как могли распределиться голоса. Если так быть не могло, объясните, почему.
Первое место даёт кандидату 3 очка, второе — 2 очка, третье — 1 очко, а четвертое — 0 очков. После сбора всех листков, избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Побеждает тот, у кого наибольшая сумма очков.
После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из всех листков. В каждом листке осталось три кандидата. Поэтому первое место стало стоить 2 очка, второе — 1 очко, а третье — 0 очков. Очки просуммировали заново.
Могло ли случиться так, что кандидат, который прежде имел больше всех очков, после самоотвода В получил меньше всех? Если могло, приведите пример, как могли распределиться голоса. Если так быть не могло, объясните, почему.
Ответ:
Решение:
Ваня написал на доске число 1, а затем еще несколько чисел. Как только Ваня пишет очередное число, Митя вычисляет медиану уже имеющегося набора чисел и записывает его себе в тетрадку. В некоторый момент в Митиной тетради записаны числа: 1; 2; 3; 2,5; 3; 2,5; 2; 2; 2; 2,5.
а) Какое число записано на доске четвёртым?
б) Какое число записано на доске восьмым?
а) Какое число записано на доске четвёртым?
б) Какое число записано на доске восьмым?
Ответ:
Решение:
Илья Муромец встречает трехголового Змея Горыныча и начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. Пусть $x$ — живучесть Змея ($x\gt 0$). Вероятность того, что на месте отрубленной головы вырастет $k$ новых голов ($k=0,\,1,\,2$), равна $$p_k=\dfrac{x^k}{1+x+x^2}.$$
В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получилась следующая последовательность: $$K=(1,\,2,\,2,\,1,\,0,\,2,\,1,\,0,\,1,\,2).$$
Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность последовательности $K$ наибольшая*.
* Описанный метод поиска оценки параметра модели, исходящий из максимума вероятностей осуществившихся событий, является разновидностью метода наибольшего правдоподобия.
В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получилась следующая последовательность: $$K=(1,\,2,\,2,\,1,\,0,\,2,\,1,\,0,\,1,\,2).$$
Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность последовательности $K$ наибольшая*.
* Описанный метод поиска оценки параметра модели, исходящий из максимума вероятностей осуществившихся событий, является разновидностью метода наибольшего правдоподобия.
Ответ:
Решение: