В периодической десятичной дроби $0{,}242424\ldots$ первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на 2018 месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ уравнение $\log_2 x+\log_2 x^3+\log_2 x^5+\ldots+\log_2 x^{2n-1}=5040$ имеет рациональное решение?
Ответ:
Решение:
Число $\dfrac{1711}{2011}$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x,y\in[1;8]$, удовлетворяющих равенству \[\sqrt{x x,xxx\ldots}=y,yyy\ldots\] (десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx\ldots$ и $y,yyy\ldots$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2000$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2600$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дробь $1/5$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Дробь $1/9$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\dfrac{5x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;100]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\frac{5x}{3}\right]$ таких, что $f(x)\in[70;280]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Множество $M$ состоит из всех таких чисел $t$, для каждого из которых числа \[ t+\frac{1}{t}\quad\text{и}\quad t^2-4t \] являются целыми. Найдите сумму квадратов элементов множества $M$.
Ответ:
Решение:
Ваня выписал на доску подряд все целые части от деления каждого из чисел \[ 1^2,2^2,\ldots,2024^2 \] на 2024, пропуская все повторяющиеся значения. Сколько всего чисел он выписал?
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\frac{1}{x}$ и $x^2-4x$ являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $k$, для которых перевод обыкновенной дроби $\dfrac{2k+3}{2k}$ в десятичную приведет к конечной десятичной дроби с $100$ знаками после запятой?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ дробь $\dfrac{2}{n}$ может быть представлена периодической десятичной дробью вида $0{,}1(a_1a_2)$ с периодом, содержащим две различные цифры?
Ответ:
Решение:
Найти первые 100 цифр после запятой в десятичной форме записи числа $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2023}$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x-3y=1$ и имеют вид \[ x=12a+b\sqrt5,\quad y=ba^{-1}+3\sqrt5 \] для некоторых чисел $a$ и $b$. Найти $x$, $y$ и $a$, если известно, что число $b$ рациональное.
Ответ:
Решение:
Вычислите $\sqrt{n}+\sqrt{n+524}$, если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.
Ответ:
Решение: