Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a, b, c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трёх из них — делится.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\gt 10$. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Целое число $a\gt 2$ назовем $n$-разложимым, если $a^n-2^n$ делится на каждое число вида $a^d+2^d$, где $d$ — натуральный делитель $n$, отличный от $n$. Найдите все составные натуральные $n$, для которых существует $n$-разложимое число.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные $a$, $b$, $c$ такие, что $a\gt 1$, $b\gt c\gt 1$, а число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $b$ делится на $a$.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $c\geqslant b$.
Ответ:
Решение:
Назовем натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и $117=3\cdot3\cdot13$ — однобокие, а число $682=2\cdot11\cdot31$ — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что число $(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)$ делится на $abc+1$. Может ли их частное быть квадратом простого числа?
Ответ:
Решение: