Найдите все четырёхзначные натуральные числа $n$, обладающие свойством, что \[ \text{первые несколько цифр числа } n^2 \text{ образуют число } n. \] Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа $A$, если $A=2^{63}\cdot4^{25}\cdot5^{106}-2^{22}\cdot4^{44}\cdot5^{105}-1$.
Ответ:
Решение:
Миша выписал на доске подряд все натуральные числа от 7 до 2020. Пришла Маша и заменила каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришёл Ваня и сделал то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?
Ответ:
Решение:
Расшифруйте ребус (разные буквы означают разные цифры) и найдите значение выражения в нижней строке:\[\begin{array}{ccccccc}\text{Л}&\times&\text{О}&=&\text{М}\\+&&:&&+\\\text{О}&\times&\text{Н}&=&\text{О}\\\shortparallel&&\shortparallel&&\shortparallel\\\text{С}&-&\text{О}&+&\text{В}&=&?\end{array}\]
Ответ:
Решение:
Петя написал пять последующих членов арифметической прогрессии и зашифровал их по принципу: каждую цифру заменил на букву, разным цифрам — разные буквы и наоборот. Вот что получилось: Д, БЕ, АФ, СС, ФА. Какие числа написал Петя?
Ответ:
Решение:
Произведение двух натуральных чисел $A$ и $B$ — это четырёхзначное число, у которого первая цифра совпадает с третьей, а вторая совпадает с четвёртой. Какое наибольшее произведение могут иметь числа $A$ и $B$, если известно, что $A+B$ меньше $195$?
Ответ:
Решение:
Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из $40\,000$ девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $n^3$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число такое, что если из него вычесть сумму его цифр, то получится число $12\,357$.
Ответ:
Решение:
Сумма двух четырёхзначных чисел, не оканчивающихся на ноль, равна $3\,997$. Вася записывает оба данных числа в обратном порядке (например, если дано $3\,811$, то Вася запишет $1\,183$). Какова наибольшая возможная сумма чисел, записанных Васей?
Ответ:
Решение:
Даны 13 натуральных чисел, в записи которых встречается одна-единственная цифра (например, 7, 7, 777, 77, …). Сколько цифр использовано для записи всех 13 чисел, если известно, что сумма этих чисел равна $10\,278$?
Ответ:
Решение:
Пусть $\Pi(k)$ обозначает произведение всех цифр натурального числа $k$. Найдите наименьшее пятизначное число $n$ такое, что \[\Pi(n)=\Pi(n+1)=\Pi(n+2)\lt \Pi(n+3)=648.\]
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске натуральные числа $N$ и $N+1$. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на 20. Оказалось, что $N$ — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа $N$.
Ответ:
Решение:
Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила три первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (например, если Вера написала 12345678, то Надя написала 45678123). Люба сложила два написанных на доске числа. Сколько различных чисел из отрезка $[23100000;23100140]$ могло получиться у Любы?
Ответ:
Решение:
Вера написала на доске шестизначное число. Надя переставила его первую цифру в конец и написала полученное шестизначное число на доске (например, если Вера написала $123456$, то Надя написала $234561$). Люба сложила два написанных на доске числа. Какие числа из отрезка $[180000;230000]$ могли получиться у Любы? В ответе укажите сумму всех таких чисел.
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске натуральные числа $N$ и $N+2$. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на $22$. Оказалось, что $N$ — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа $N$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На доске написано число $27$. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на $12$. Например, через минуту на доске будет написано число $2\cdot7+12=26$. А что окажется на доске через час?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, начиная с 20, выписали в одну строку: $20212223\ldots$ Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на 2021 месте?
Ответ:
Решение: