Ненулевые действительные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенствам \[ 3x+2y=z\quad\text{и}\quad\dfrac3x+\dfrac1y=\dfrac2z. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{3x^2-4y^2-z^2}{x^2-6y^2}$.
Ответ:
Решение:
Петя загадал такие вещественные числа $x$, $y$, $z$, что выражения \[\dfrac{x(y-z)}{y(z-x)}\quad\text{и}\quad\dfrac{2y(z-x)}{z(y-x)}\] принимают одно и то же значение $A$. Найдите все возможные значения $A$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ \frac{a}{b+c-5a}=\frac{b}{a+c-5b}=\frac{c}{a+b-5c}. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{5a}{b}+\dfrac{5c}{b}$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]
Ответ:
Решение:
Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.
Ответ:
Решение: