На прямой отмечено $n+1$ различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки $I$ и $J$, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей $\frac{n-1}{n}\,d$, где $d$ — длина отрезка $I$.
Ответ:
Решение:
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_B$ и $I_C$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_B\cdot XI_C\gt XB\cdot XC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ являются вершинами выпуклого четырехугольника, периметр которого равен $P$. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ не превосходит $\dfrac{P}{2}$.
Ответ:
Решение:
Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, высоты треугольника $ADE$ пересекаются в точке $F$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $BH+CH\geqslant 2FM$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB=BC=CD=DE=1$. Докажите, что $AD\lt 2$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P$, а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP=AB$ и $2QC=BC$. Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM\perp BD$. Докажите, что если $BM\gt MA$, то $2BC+AD\gt 2CN$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE=\angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE\geqslant EK$.
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что \[ \angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ, \] \[ AB+BC+CD+DE=AD+BE. \] Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника?
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезке $AB$ отмечена точка $E$, а на отрезке $BC$ — точка $F$, причём $AB=DE$ и $BC=DF$. Докажите, что из отрезков $AD$, $CD$ и $EF$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение: