В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?
Ответ:
Решение:
Для любого натурального $n$ и для любого набора чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ из отрезка $[0;3]$ уравнение \[ \sum_{i=1}^{n}|x-x_i|=an \] имеет решение $x$, принадлежащее отрезку $[0;3]$. Укажите, какие из следующих значений $a$ удовлетворяют этому условию: a) $a=0$; b) $a=\dfrac32$; c) $a=2$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого треугольника с вершинами на графике многочлена степени $2025$ и для любой точки $P$ на границе или внутри этого треугольника найдётся содержащий точку $P$ отрезок с концами на графике, длина которого не превосходит длины наибольшей стороны этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Сколько различных целых значений принимает функция $17\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$?
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции \[ f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{6\log_{0{,}25}^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{\sin x+15}\right)}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму целых чисел, которые принадлежат множеству значений функции \[ f(x)=\log_2\left(15\cos2x+17\right) \] при \[ x\in\left[\frac{5}{3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{7}\right)\cos\left(\pi+\arcsin(-0{,}8)\right);\ \operatorname{arctg}2\right]. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ и $b$ неравенство \[ b\lt 16^{\frac{2x-1}{4x^2-4x+5}}\leqslant a \] выполняется для всех действительных $x$?
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции \[ f(x)=1/g\bigl(64g(16g(\log_2x))/5\bigr), \] где $g(x)=\sqrt[5]{x}+1/\sqrt[5]{x}$.
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_2\dfrac{\cos2x+2\sin^2x}{1-\sin3x}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_4\dfrac{\cos2x-2\cos^2x}{\cos x-1}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.
Ответ:
Решение:
Нечётная функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента $x$ значение этой функции на 16 меньше, чем значение функции \[ g(x)=\left(x^2+x-4\right)^2. \] Найдите число корней уравнения $f(x)=0$.
Ответ:
Решение:
Про функцию $y=f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом 5, а также что $f(-1)=f(2)=-1$. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)=0$ на отрезке $[1755;2017]$?
Ответ:
Решение:
Функция $f(t)$ с областью определения $D(f)=[1;+\infty)$ удовлетворяет уравнению \[ f\left(\frac{2^y+2^{-y}}{2}\right)=y \] для любого $y\leqslant0$. Для каждого значения $b\neq0$ найти все решения неравенства $f\left(\frac{3b}{x+b}\right)\geqslant-2$.
Ответ:
Решение:
График прямой $y=kx+l$ пересекает ось $Ox$ в точке $B$, ось $Oy$ — в точке $C$, график функции $y=1/x$ — в точках $A$ и $D$, как изображено на рисунке. Оказалось, что $AB=BC=CD$. Найдите $k$, если известно, что $OC=3$.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги построили параболу — график функции $y=ax^2+bx+c$ при $a\gt 0$, $b\gt 0$ и $c\lt 0$, — а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены графики линейной и квадратичной функций (см. рисунок). Уравнение линейной функции имеет вид $y=cx+2c$ для некоторого числа $c$. Используя тот же параметр $c$, запишите уравнение квадратичной функции и объясните свое решение.
Ответ:
Решение:
График квадратичной функции $y=ax^2+c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$?
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трёхчлен $P(x)$, старший коэффициент которого равен 1. На графике $y=P(x)$ отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите $P(20)$.
Ответ:
Решение:
График функции $y=ax^2+bx+c$ пересекает график функции $y=|x-3|$ в трёх точках, как изображено на рисунке.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Ответ:
Решение:
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен $-5$. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты $(3,4)$, а вторая — лежит на оси ординат.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ:
Решение: