В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?
Ответ:
Решение:
На фотографирование класса пришли 4 девочки и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?
Ответ:
Решение:
Дана замкнутая тысячезвенная ломаная, в которой длины всех звеньев равны, никакие два конца несоседних звеньев не совпадают и никакой конец одного из звеньев не лежит внутри другого звена. При каком наибольшем $k$ может случиться, что каждое звено пересекает хотя бы $k$ из оставшихся звеньев под прямым углом?
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $6\times6$ расставлены все натуральные числа от 1 до 36 (в каждой клетке стоит одно число). Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times2$. Обозначим через $m$ наименьшую сумму чисел в «уголке», а через $M$ — наибольшее из $m$ по всем возможным расстановкам чисел в таблице. Найдите $M$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечено $n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него — $n-1$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение:
В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз.
Ответ:
Решение:
Среди натуральных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем $k$ может случиться, что все квадратные уравнения $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2}=0$, где $1\leqslant i\leqslant k-2$, не имеют корней?
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем $n$ существует выпуклый $n$-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений?
Ответ:
Решение:
Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи?
В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий, и число использованных операций не должно зависеть от $n$.
В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий, и число использованных операций не должно зависеть от $n$.
Ответ:
Решение:
Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в который оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе?
Ответ:
Решение:
На клетчатой белой доске размером $25\times25$ клеток несколько клеток окрашено в чёрный цвет, причём в каждой строке и каждом столбце окрашено ровно 9 клеток. При каком наименьшем $k$ заведомо можно перекрасить $k$ клеток в белый цвет таким образом, чтобы нельзя было вырезать чёрный квадрат $2\times2$?
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного 300-угольника расставлены числа от 1 до 300 по одному разу в некотором порядке. Оказалось, что для каждого числа $a$ среди ближайших к нему 15 чисел по часовой стрелке столько же меньших $a$, сколько и среди 15 ближайших к нему чисел против часовой стрелки. Число, которое больше всех 30 ближайших к нему чисел, назовём огромным. Каково наименьшее возможное количество огромных чисел?
Ответ:
Решение:
Имеется клетчатая доска размером $2n\times2n$. Петя поставил на неё $(n+1)^2$ фишек. Кот может одним взмахом лапы смахнуть на пол любую одну фишку или две фишки, стоящие в соседних по стороне или углу клетках. За какое наименьшее количество взмахов кот заведомо сможет смахнуть на пол все поставленные Петей фишки?
Ответ:
Решение:
У Зевса имеются весы, позволяющие узнавать вес положенного на них груза, и мешок со 100 монетами, среди которых есть 10- и 9-граммовые. Зевсу известно общее число $N$ 10-граммовых монет в мешке, но не известно, какие именно сколько весят. Он хотел бы сделать четыре взвешивания на весах и в результате гарантированно найти хотя бы одну 9-граммовую монету. При каком наибольшем $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
На каждой стороне квадрата выбрано по 100 точек, из каждой выбранной точки внутрь квадрата проведён отрезок, перпендикулярный соответствующей стороне квадрата. Оказалось, что никакие два из проведённых отрезков не лежат на одной прямой. Отметим все точки пересечения этих отрезков. При каком наибольшем $k\lt 200$ может случиться так, что на каждом проведённом отрезке лежит ровно $k$ отмеченных точек?
Ответ:
Решение:
В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании (если $A$ знаком с $B$, то и $B$ знаком с $A$). Оказалось, что у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара незнакомых друг с другом людей. При каком наибольшем $k$ можно утверждать, что в компании найдётся такой человек, что среди его 100 знакомых найдутся хотя бы $k$ различных пар людей, в каждой из которых люди не знакомы друг с другом? (Один человек может входить в несколько таких пар.)
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $n\gt k\geqslant2$. В клетчатом квадрате $n\times n$ закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата $k\times k$. Какое наибольшее число клеток может быть закрашено?
Ответ:
Решение:
Даны нечётные числа $a\leqslant b$, большие 1. На клетчатую плоскость (сторона клетки равна 1) выложены по линиям сетки салфетки в форме квадратов $2\times2$ так, что каждая клетка накрыта не более чем одной салфеткой. Оказалось, что для любого клетчатого прямоугольника с горизонтальной стороной $a$ и вертикальной стороной $b$ его левый нижний угол является центром одной из салфеток в том и только в том случае, когда его правый верхний угол является центром одной из салфеток. Найдите наименьшее положительное число $\alpha$, при котором для любого натурального $N$ гарантированно найдётся клетчатый квадрат $N\times N$, содержащий целиком не более $\alpha N^2$ салфеток.
Ответ:
Решение: