В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение:
Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем $M$ можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся $M$ человек, указавших один и тот же фильм?
Ответ:
Решение:
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
Ответ:
Решение:
Клетки бумажного квадрата $8\times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2\times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Ответ:
Решение:
У Пети имеется $50$ шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых $34$ шариков есть хотя бы один красный; среди любых $35$ — синий; среди любых $36$ — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?
Ответ:
Решение:
На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Ответ:
Решение:
Квадратное поле размером $1100\times1100$ метров разделено на $121$ огороженный загон в форме квадратов со стороной $100$ м. В каждом из загонов поселились зайцы. Количество зайцев, живущих в соседних (имеющих общую сторону) загонах, отличается не более чем на $5$. Докажите, что есть на поле загоны с одинаковым числом проживающих в них зайцев.
Ответ:
Решение:
В мешке деда Мороза находится $30$ одинаковых по форме конфет в разных по цвету обертках: $5$ желтых, $10$ красных и $15$ синих. Петя, не заглядывая в мешок, вынимает из него несколько конфет. Какое максимальное количество конфет может взять Петя, чтобы быть уверенным в том, что в мешке останется не менее трех конфет одного цвета и не менее четырех — другого?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n\gt 1$ верно утверждение: из любых $n$ натуральных чисел можно выбрать два, разность квадратов которых делится на $399$?
Ответ:
Решение:
$n$ грибников ходили в лес и принесли суммарно $200$ грибов (возможно, некоторые из грибников не принесли домой ни одного гриба). Мальчик Петя, узнав об этом, заявил: «Какие-то двое из них обязательно принесли одинаковое количество грибов!» При каком наименьшем $n$ мальчик Петя наверняка окажется прав? Не забудьте обосновать свой ответ.
Ответ:
Решение:
В правильном 2017-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то $N$ диагоналей. При каком наименьшем $N$ среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину?
Ответ:
Решение:
В ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?
Ответ:
Решение:
В мешке $90$ шаров, отличающихся только цветом: $25$ красных, $25$ синих, $25$ жёлтых и $15$ зелёных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее $15$ шаров одного цвета?
Ответ:
Решение:
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет.
На празднике император задает каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить «да» или «нет». Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнает, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса).
Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
На празднике император задает каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить «да» или «нет». Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнает, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса).
Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
Ответ:
Решение:
Император пригласил на праздник $2015$ волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет.
На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить «да» или «нет». Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задаёт каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса).
Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить «да» или «нет». Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задаёт каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса).
Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
Ответ:
Решение:
Сказочное государство расположено на трёх островах: A, B и C. Всего в государстве проживает 100 человек, причём каждый из них живёт на одном из этих островов. Все жители государства — либо рыцари, которые всегда говорят только правду, либо лжецы, которые всегда лгут. На вопрос «Вы проживаете на острове A?» ответили «да» 55 жителей государства; на вопрос «Вы проживаете на острове B?» ответили «да» 38 жителей государства; а на вопрос «Вы проживаете на острове C?» ответили «да» 49 жителей государства. На следующий день на острове A прошёл «очищающий» дождь, после чего все лжецы острова A стали говорить правду (рыцари остались рыцарями, на других островах очищающий дождь не проходил). После этого всем жителям государства был задан вопрос «Вы проживаете на острове B?», на который «да» ответили 27 жителей государства. Если бы «очищающий дождь» прошёл не на острове A, а на острове C, то на вопрос «Вы проживаете на острове B?» ответили бы «да» 29 человек. Сколько лжецов проживают на острове B?
Ответ:
Решение:
В городе Математинске проживают только рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Город разделён на четыре округа: Северный, Западный, Южный и Восточный. На вопрос: «Вы живёте в Северном округе?» ответили «да» 610 человек, на вопрос: «Вы живёте в Западном округе?» сказали «да» 680 человек, на вопрос: «Вы живёте в Южном округе?» ответили «да» 690 человек, а на вопрос: «Вы живёте в Восточном округе?» сказали «да» 600 человек. На следующий день в Южном и Восточном округах проходил карнавал: лжецы переоделись в рыцарей и стали говорить правду, а рыцари переоделись в лжецов и стали лгать (в Северном и Западном округах в этот день карнавал не проводился). В результате на вопрос «Вы живёте в Северном округе?» в этот день ответили «да» 620 человек.
1. Сколько лжецов проживает в Математинске?
2. Сколько всего жителей в Математинске?
1. Сколько лжецов проживает в Математинске?
2. Сколько всего жителей в Математинске?
Ответ:
Решение:
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?
Ответ:
Решение:
Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?
Ответ:
Решение:
В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живёт в одном из четырёх кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: «Вы живёте в квартале А?», «Вы живёте в квартале Б?», «Вы живёте в квартале В?», «Вы живёте в квартале Г?». На первый вопрос утвердительно ответили $105$ жителей, на второй — $45$, на третий — $85$ и на четвёртый — $65$. В каком квартале лжецов живёт больше, чем рыцарей, и на сколько?
Ответ:
Решение: