В один прекрасный день Цветочный город был взбудоражен известием: кто-то выпил все запасы арбузного сока! В ходе разбирательства выяснилось, что виновен либо Пончик, либо Сиропчик (но не оба), но коротышки никак не могли решить, кто именно из двоих.
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?
Ответ:
Решение:
Учитель математики договорился с пришедшими на кружок $23$ учениками, что они выберут, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто — рыцарем (всегда говорить правду). После чего учитель раздал ученикам карточки с числами, причем числа на всех карточках различны. Ученики встали по кругу и посмотрели карточки соседей. После этого каждый из учеников сказал: «Число на моей карточке больше, чем у моих соседей». Какое наибольшее количество учеников могут сказать: «Число на моей карточке меньше, чем у моих соседей»?
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидят 15 волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого 5 волшебников сказали: «Теперь у меня нет волшебной палочки», а остальные 10 волшебников сказали: «У меня по-прежнему ровно одна волшебная палочка». Какое наибольшее число волшебников могло сказать правду?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $28$ магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Все магистры знают, к какому из двух орденов принадлежит любой магистр, сидящий за столом. Каждый из сидящих за столом дал ответы на два вопроса: к какому ордену принадлежит его сосед слева и к какому ордену принадлежит его сосед справа. Мудрецу, который знает, что за столом есть магистры ордена Лжецов, но их меньше, чем магистров ордена Рыцарей, сообщили количество ответов «орден Рыцарей» и ответов «орден Лжецов». После этого мудрец смог точно назвать количество магистров из ордена Лжецов. Какое наименьшее количество ответов «орден Лжецов» могло быть получено?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $70$ магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда говорят правду). Каждому из них дали карточку, на которой написано натуральное число (все числа на карточках различны). Каждый из сидящих за столом сравнил своё число с числами на карточках соседей и сказал: «У меня число больше, чем числа у каждого из двух моих соседей». Какое наибольшее количество из сидящих за столом после этого может сказать: «У меня число меньше, чем числа у каждого из двух моих соседей».
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 165 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Хотя бы по одному магистру из каждого ордена есть. Какое наибольшее число из сидящих за столом могло сказать: «Через 5 человек от меня есть магистр из ордена Рыцарей»?
Ответ:
Решение:
В $1^{\text{а}}$ классе каждого ребёнка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребёнок не считает). Каждый ребёнок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на $2$. Среди ответов были получены такие: $(13,11)$, $(17,11)$, $(14,14)$. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Ответ:
Решение:
На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может как говорить правду, так и лгать). Рыцари считаются людьми высшего ранга, обычные люди — среднего, а лжецы — низшего. А, В и С — жители этого острова. Один из них — рыцарь, другой — лжец, а третий — обычный человек. А и В сказали следующее. А: «В по рангу выше, чем С». B: «С по рангу выше, чем А». Что ответил С на вопрос: «Кто выше по рангу — А или В?»
Ответ:
Решение:
На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова А и В сказали следующее. А: «B — рыцарь». В: «А — не рыцарь». Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды путешественник забрёл на вечеринку, на которой собрались 12 жителей острова (назовём их для краткости $A$, $B$, …, $L$). Путешественник подсел к $A$ и начал задавать вопросы: «$B$ — рыцарь или лжец?»; «$C$ — рыцарь или лжец?»; …; «$L$ — рыцарь или лжец?» По полученным 11-ти ответам путешественник смог определить, сколько всего рыцарей среди $A$, …, $L$. Сделайте это и вы.
Ответ:
Решение:
В некотором классе каждый ученик либо всегда говорит ложь, либо всегда говорит правду. При этом каждый из них знает про остальных, кто лжец, а кто — нет. На сегодняшнем собрании присутствовали все ученики класса, и каждый сообщил, кем является каждый из остальных. Ответ «лжец» при этом прозвучал $272$ раза. Вчера проводилось такое же собрание, но один из учеников отсутствовал. Тогда ответ «лжец» прозвучал $256$ раз. Сколько учеников в таком классе?
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов прошло математическое соревнование между командой рыцарей (которые всегда говорят правду) и командой лжецов (которые всегда лгут). В каждой команде было три человека. На соревновании предлагалось три задачи: одна по алгебре, другая по геометрии, третья по комбинаторике. После соревнования участники рассказали следующее.
Артём: «Наша команда решила все задачи».
Борис: «Мы решили ровно две задачи — по геометрии и комбинаторике».
Василий: «Мы решили ровно две задачи — по алгебре и по геометрии».
Григорий: «Наша команда справилась с задачей по алгебре».
Дмитрий: «Мы не решили геометрию».
Евгений: «Мы не решили только комбинаторику».
Определите состав команды рыцарей.
Артём: «Наша команда решила все задачи».
Борис: «Мы решили ровно две задачи — по геометрии и комбинаторике».
Василий: «Мы решили ровно две задачи — по алгебре и по геометрии».
Григорий: «Наша команда справилась с задачей по алгебре».
Дмитрий: «Мы не решили геометрию».
Евгений: «Мы не решили только комбинаторику».
Определите состав команды рыцарей.
Ответ:
Решение:
Андрей, Максим, Игорь и Коля соревновались в велогонке. На вопрос, кто какое место занял, они ответили:
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Ответ:
Решение:
Из четырёх бегунов — Антона, Бориса, Виктора и Григория — второе место занял самый старший. При этом Антон пробежал дистанцию быстрее, чем Виктор, а Григорий — быстрее, чем Борис и Виктор. Известно также, что Борис старше Антона, а Виктор старше Григория. В каком порядке финишировали спортсмены?
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. В школе на этом острове учатся как рыцари, так и лжецы в одном классе. Однажды учитель спросил у четырёх детей Ану, Бану, Вану и Дану, кто из них сделал домашнее задание. Они ответили:
- Ану: Домашнее задание сделали Бану, Вану и Дану.
- Бану: Домашнее задание не сделали Ану, Вану и Дану.
- Вану: Не верьте им, господин учитель! Ану и Бану лжецы!
- Дану: Нет, господин учитель, Ану, Бану и Вану рыцари!
Ответ:
Решение:
В гостинице $a\gt 1$ этажей, на каждом этаже $b$ одноместных номеров. На математический конгресс приехало $ab$ математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чётно.
Ответ:
Решение:
Около таверны стоят $100$ эльфов, $100$ гномов и $100$ орков. Сначала в неё заходят $10$ эльфов, $10$ гномов и $10$ орков. Затем каждую минуту из неё выходит одно существо и тут же заходит другое, причём всегда после выхода эльфа заходит гном, после выхода гнома — орк, а после выхода орка — эльф. Могло ли оказаться так, что к какому-то моменту в таверне побывали все возможные компании из $30$ существ ровно по одному разу? Все $300$ существ различны.
Ответ:
Решение:
На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.
Ответ:
Решение:
На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\dfrac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?
Ответ:
Решение:
Назовем расстановку $n$ единиц и $m$ нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных $n$, $m$ существует хорошая расстановка?
Ответ:
Решение: