На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5 (см. рис.). Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, как бы вы ни двигали треугольник, стороны 3 - 4 - 5 будут расположены по ходу часовой стрелки). Посчитайте, сколько различных «жёстких» фигур можно собрать, используя все эти треугольники. Фигура считается «жёсткой», если у каждого её треугольника есть с каким-нибудь другим треугольником общая вершина и общий граничный отрезок с концом в этой вершине (необязательно целая сторона).
Ответ:
Решение:
Есть два ряда — верхний и нижний, каждый из 6 точек (см. рисунок). Проводят отрезки с концами в противоположных рядах так, чтобы из каждой точки выходил ровно один отрезок. Сколько существует способов провести отрезки, чтобы среди всех пар отрезков было ровно 7 пар пересекающихся отрезков?
Ответ:
Решение:
Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов.
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Ответ:
Решение:
На тетрадном листе нарисован квадрат $8\times8$ клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по целочисленным узлам координатной сетки. За один шаг он может либо переместиться на одну клетку вверх или вправо, если при этом он попадает в точку, в которой не был раньше; либо вернуться на один шаг назад по уже пройденному пути — соответственно, вниз или влево. Сколько существует различных путей с началом в точке $O(0;0)$ и концом в точке $A(3;5)$ таких, что в точку $A$ кузнечик попадает не более чем за 10 шагов? (Достигая точки $A$, кузнечик останавливается.)
Ответ:
Решение:
Имеется куб, зафиксированный на ножках, и шесть различных красок. Сколькими способами можно покрасить все грани куба (каждую в один цвет, все краски использовать не обязательно) так, чтобы соседние грани (имеющие общее ребро) были разного цвета?
Ответ:
Решение:
Имеется $5$ кусков прозрачного стекла одинаковой квадратной формы и одинакового размера. Каждое стекло своими диагоналями условно разделено на $4$ одинаковые части (прямоугольные треугольники), и один из этих треугольников закрашен непрозрачной краской своего индивидуального цвета, отличного от цветов закраски других стекол. Затем все эти стекла укладываются друг на друга в стопку (с точным выравниванием границ и вершин) закрашенными частями вверх. Сколько существует различных способов укладки стекол в стопку так, чтобы вся она в итоге оказалась полностью непрозрачной в вертикальном направлении?
Ответ:
Решение:
В алфавите жителей сказочной планеты АБ2020 всего две буквы: буква А и буква Б. Все слова начинаются на букву А и заканчиваются тоже на букву А. В любом слове буква А не может соседствовать с другой буквой А. Также не может идти подряд больше, чем 2 буквы Б. Например, слова АББА, АБАБАБА, АББАБАББА являются допустимыми, а слова АББАБ, АБААБА, АБАБББА — нет. Сколько 20-буквенных слов в словаре этой планеты?
Ответ:
Решение:
Поле для игры «7 кругов» представляет собой правильный треугольник и $7$ одинаковых кружочков с центрами в вершинах, серединах сторон и центре треугольника. Сколько существует различных способов расставить черные и белые фишки, по одной в каждый кружок? Расстановки, которые переходят друг в друга при повороте, считаются одинаковыми.
Ответ:
Решение:
В кино пришли 5 девочек, 3 мальчика и учительница. Все они расселись в первом ряду, в котором места пронумерованы от 1 до 10. По пути в кинотеатр 5 девочек начали активно общаться, и учительница решила, что сажать их рядом небезопасно. Между любыми двумя девочками должно быть минимум одно место: или незанятое, или занятое мальчиком или учительницей. Сколько различных способов рассадки имеется? (Два способа отличаются, если хотя бы один из участников группы сидит на местах с разными номерами.)
Ответ:
Решение:
Каждую клетку таблицы $3\times3$ раскрашивают в один из трёх цветов так, что клетки, имеющие общую сторону, имеют разный цвет. Среди всех возможных таких раскрасок найдите долю тех, в которых использовано ровно два цвета.
Ответ:
Решение:
Петя и Ваня составили из кубиков столбики по четыре кубика в каждом, но действовали по разным правилам: у Пети в каждом столбике есть кубики красного, жёлтого, зелёного и синего цветов, а у Вани — только красного, жёлтого и зелёного цветов. Оказалось, что все составленные столбики между собой различны, причём ни Петя, ни Ваня, следуя своим правилам, новых столбиков составить не могут. Кто из мальчиков составил больше столбиков и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
Найдите количество способов расставить $150$ монет попарно различных номиналов в ряд так, чтобы нашлось не более двух пар монет (не обязательно соседних), для которых монета, стоящая правее, имеет больший номинал.
Ответ:
Решение:
В классе для занятий иностранным языком стоят четыре ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них):
- он сидит на первой парте в ряду,
- ближайшая парта перед ним пуста,
- за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в прямоугольнике $60\times 70$ можно разместить две кости домино $1\times 2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Ответ:
Решение:
Играя, девочка Маша нашла $6$ папиных новых носков одинаковой формы (правый не отличается от левого) трех цветов: $2$ белых, $2$ серых и $2$ черных, при этом носки одинакового цвета визуально неразличимы. Маша решила их надеть по три штуки на каждую ногу. Сколькими способами она это может сделать, если важно, какой носок надет раньше, какой позже и на какую ногу, а также носки можно выворачивать наизнанку?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами Аня, Боря, Вова, Гена и Даша могут занять места в ряде из 10 сидений, чтобы Аня и Боря не оказались соседями?
Ответ:
Решение:
Имеется шесть карточек с буквами С, О, Б, А, К, И. Сколькими способами можно расположить все карточки в ряд так, чтобы не было трех согласных подряд и не было трех гласных подряд?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске, состоящей из $10\times10$ клеток, двух коней — белого и черного так, чтобы они угрожали друг другу? (Конь ходит буквой «Г», т. е. он может пойти на одно из полей, ближайших к тому, на котором он стоит, но не на той же самой горизонтали, вертикали или диагонали.)
Ответ:
Решение:
Бросается стандартная игральная кость (кубик, от 1 до 6 очков на грани, сумма очков на противоположных гранях равна семи). После броска записываем результат, перекатываем кубик случайным образом на одну из соседних граней, записываем новый результат, потом снова случайно перекатываем кубик на одну из соседних граней, и записываем третий результат. Сколько разных возрастающих последовательностей очков мы можем получить?
Ответ:
Решение: