У Зевса имеются весы, позволяющие узнавать вес положенного на них груза, и мешок со 100 монетами, среди которых есть 10- и 9-граммовые. Зевсу известно общее число $N$ 10-граммовых монет в мешке, но не известно, какие именно сколько весят. Он хотел бы сделать четыре взвешивания на весах и в результате гарантированно найти хотя бы одну 9-граммовую монету. При каком наибольшем $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
На каждой стороне квадрата выбрано по 100 точек, из каждой выбранной точки внутрь квадрата проведён отрезок, перпендикулярный соответствующей стороне квадрата. Оказалось, что никакие два из проведённых отрезков не лежат на одной прямой. Отметим все точки пересечения этих отрезков. При каком наибольшем $k\lt 200$ может случиться так, что на каждом проведённом отрезке лежит ровно $k$ отмеченных точек?
Ответ:
Решение:
В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании (если $A$ знаком с $B$, то и $B$ знаком с $A$). Оказалось, что у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара незнакомых друг с другом людей. При каком наибольшем $k$ можно утверждать, что в компании найдётся такой человек, что среди его 100 знакомых найдутся хотя бы $k$ различных пар людей, в каждой из которых люди не знакомы друг с другом? (Один человек может входить в несколько таких пар.)
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $n\gt k\geqslant2$. В клетчатом квадрате $n\times n$ закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата $k\times k$. Какое наибольшее число клеток может быть закрашено?
Ответ:
Решение:
Даны нечётные числа $a\leqslant b$, большие 1. На клетчатую плоскость (сторона клетки равна 1) выложены по линиям сетки салфетки в форме квадратов $2\times2$ так, что каждая клетка накрыта не более чем одной салфеткой. Оказалось, что для любого клетчатого прямоугольника с горизонтальной стороной $a$ и вертикальной стороной $b$ его левый нижний угол является центром одной из салфеток в том и только в том случае, когда его правый верхний угол является центром одной из салфеток. Найдите наименьшее положительное число $\alpha$, при котором для любого натурального $N$ гарантированно найдётся клетчатый квадрат $N\times N$, содержащий целиком не более $\alpha N^2$ салфеток.
Ответ:
Решение:
В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возможное количество пар друзей.
Ответ:
Решение:
На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л?
Ответ:
Решение:
На столе по кругу выложили 100 двухрублевых и $N$ пятирублевых монет в некотором порядке. Известно, что выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа $N$.
Ответ:
Решение:
Шахматного короля поставили на клетку доски $8\times8$ и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.)
Ответ:
Решение:
Несколько карточек выложили в ряд слева направо, на каждой карточке написана буква русского алфавита. Назовем набор из 33 карточек идеальным, если на этих карточках выписаны все буквы в алфавитном порядке слева направо. Известно, что при любом выборе одной буквы $L$ русского алфавита найдутся $10^6$ идеальных наборов, любые два из которых либо не имеют общих карточек, либо имеют ровно одну общую карточку, на которой написана буква $L$. При каком наибольшем $k$ в этом ряду гарантированно можно найти $k$ идеальных наборов, любые два из которых не имеют общих карточек?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $N$. Куб со стороной $2N+1$ сложен из $(2N+1)^3$ единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб $2\times2\times2$, не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков могло быть использовано?
Ответ:
Решение:
В клетчатом прямоугольнике $2\times100$ каждую клетку красят в белый или черный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник $1\times2$ или $2\times1$. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник $2\times100$ на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы 1 черную клетку. Какое наибольшее количество клеток могло быть покрашено в черный цвет?
Ответ:
Решение:
В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый — во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой 25. Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем $k$ эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы $k$ из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования?
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 106 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и проведены все отрезки между ними. Гриша поставил на каждом проведённом отрезке вещественное число, по модулю не превосходящее 1, и для каждой шестёрки отмеченных точек посчитал сумму чисел на всех 15 отрезках, соединяющих их. Оказалось, что каждая такая сумма по модулю не меньше числа $C$, при этом среди таких сумм есть как положительная, так и отрицательная. При каком наибольшем $C$ это возможно?
Ответ:
Решение:
1000 детей, среди которых нет двух одинакового роста, выстроились в шеренгу. Назовём пару различных детей $(a,b)$ хорошей, если между ними не стоит ребёнка, рост которого больше роста одного из $a$ и $b$, но меньше роста другого. Какое наибольшее количество хороших пар могло образоваться? (Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одной и той же парой.)
Ответ:
Решение:
Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четвёртым ходами количества клубней в его мешке были меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
Ответ:
Решение:
Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причем дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что
- все рыцари отвечали на вопрос верно,
- все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\geqslant 3$. В клетчатом квадрате $2n\times2n$ закрашивают $2(n-1)^2$ клеток. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. Вдоль дороги стоят $n$ столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в $k$ цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем $n$ так могло оказаться?
Ответ:
Решение:
В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт, дети захотели, чтобы их куски тоже были квадратными. Родители могут резать торт разрезами, параллельными сторонам торта (разрезы не обязаны начинаться или оканчиваться на стороне торта). Для какого наибольшего $k$ родители гарантированно могут вырезать из заказанного торта $k$ квадратных кусков, которые можно выдать $k$ детям, чтобы каждый из них получил желаемое?
Ответ:
Решение: