14045
Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
Ответ:
Решение:
14046
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их гранях с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 8. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
пять кубиков в ряд, видны верхние грани; на верхней грани самого левого кубика две точки (число 2), на остальных четырёх — знаки «?».пять кубиков в ряд, видны верхние грани; на верхней грани самого левого кубика две точки (число 2), на остальных четырёх — знаки «?».
Ответ:
Решение:
14047
Сколькими разными маршрутами машина может доехать из левого нижнего угла в правый верхний? Ехать можно только по линиям, двигаясь только вверх или вправо.
большой квадрат; отмечены его левая нижняя и правая верхняя вершины. В левом верхнем углу большого квадрата нарисован квадрат со стороной чуть меньше половины стороны большого (две его стороны лежат на сторонах большого), а внутри него, в его правом нижнем углу, — ещё меньший квадрат. Аналогично…большой квадрат; отмечены его левая нижняя и правая верхняя вершины. В левом верхнем углу большого квадрата нарисован квадрат со стороной чуть меньше половины стороны большого (две его стороны лежат на сторонах большого), а внутри него, в его правом нижнем углу, — ещё меньший квадрат. Аналогично…
Ответ:
Решение:
14048
На рисунке изображена клетчатая доска. Будем считать, что фишка на этой доске видит другую фишку, если они расположены либо в одной вертикали, либо в одной горизонтали, причём между ними нет границ доски. Сколькими способами можно расставить 5 фишек на этой доске так, чтобы никакие две из них не видели друг друга?
доска из 21 клетки — горизонтальная полоска из 7 клеток и четыре вертикальные полоски, проходящие через её 1-ю, 3-ю, 5-ю и 7-ю клетки (слева направо). Первая вертикальная полоска — 3 клетки (по одной выше и ниже горизонтальной полоски), вторая — 5 клеток (3 выше, 1 ниже), третья — 4 клетки (1…доска из 21 клетки — горизонтальная полоска из 7 клеток и четыре вертикальные полоски, проходящие через её 1-ю, 3-ю, 5-ю и 7-ю клетки (слева направо). Первая вертикальная полоска — 3 клетки (по одной выше и ниже горизонтальной полоски), вторая — 5 клеток (3 выше, 1 ниже), третья — 4 клетки (1…
Ответ:
Решение:
14049
У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником $4\times5$ (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько — из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен?
Ответ:
Решение:
14050
Найдите количество путей длины 11 из $A$ в $B$ по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1.
клетчатая рамка — прямоугольник 6×5 клеток, у которого нет внутренней части 4×3 клеток: нарисованы 6 клеток нижнего ряда, 6 клеток верхнего ряда и по 3 клетки в левом и правом столбцах между ними (всего 18 клеток). Точка A — левый нижний угол рамки, точка B — правый верхний угол.клетчатая рамка — прямоугольник 6×5 клеток, у которого нет внутренней части 4×3 клеток: нарисованы 6 клеток нижнего ряда, 6 клеток верхнего ряда и по 3 клетки в левом и правом столбцах между ними (всего 18 клеток). Точка A — левый нижний угол рамки, точка B — правый верхний угол.
Ответ:
Решение:
14051
Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 200 в красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?
Ответ:
Решение:
14052
Сколько существует способов расположить в ряд $n$ крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если
1. $n=27$;
2. $n=26$?
Ответ:
Решение:
14053
Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером $8\times 8$ из плиток $1\times 1$ серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать.
1. Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
2. Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта 1, и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
Ответ:
Решение:
14054
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Ответ:
Решение:
14056
На доске нарисован выпуклый $n$-угольник ($n\geqslant 4$). Каждую его вершину надо окрасить либо в чёрный, либо в белый цвет. Назовём диагональ разноцветной, если её концы окрашены в разные цвета. Раскраску вершин назовём хорошей, если $n$-угольник можно разбить на треугольники разноцветными диагоналями, не имеющими общих точек (кроме вершин). Найдите количество хороших раскрасок.
Ответ:
Решение:
14057
Разложите золотой ключик, перстень, алмаз, жемчужину и изумруд по трём шкатулкам так, чтобы ни одна надпись не была верна.
Шкатулка 1Шкатулка 2Шкатулка 3
Здесь нет алмазаЭта шкатулка пустаЗдесь меньше трёх предметов
Здесь лежит ключик
Ответ:
Решение:
14058
Три лисы — Алиса, Лариса и Инесса — разговаривали на полянке. Лариса: «Алиса не самая хитрая». Алиса: «Я хитрее Ларисы». Инесса: «Алиса хитрее меня». Известно, что самая хитрая лиса солгала, остальные сказали правду.
а) Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
б) Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.
Ответ:
Решение:
14059
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 21 нога.
— Синий осьминог (зелёному): Всё ты врёшь!
— Красный осьминог: Да оба вы врёте!
1) Мог ли зелёный осьминог сказать правду? Почему?
2) Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
14060
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 24 ноги.
— Синий осьминог: Ты прав!
— Красный осьминог: Глупости, Зелёный говорит ерунду!
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
14061
В мешке лежат 15 шариков (см. рисунок). Раскрасьте каждый шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два утверждения были верны, а одно неверно:
  • синих шариков на один больше, чем красных;
  • красных и зелёных шариков поровну;
  • синих шариков на 5 больше, чем зелёных.
Напишите подробно, как вы рассуждали.
овальный мешок, в котором нарисованы 15 одинаковых кружков-шариков.овальный мешок, в котором нарисованы 15 одинаковых кружков-шариков.
Ответ:
Решение:
14062
С понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу, с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу. По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду. В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.
{
ПонедельникВторникСредаЧетвергПятницаСубботаВоскресенье
1234567
8910
}
Ответ:
Решение:
14063
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?
Ответ:
Решение:
14064
Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.
  • Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей».
  • Боря сказал: «Количество елей делится на 11».
  • Вера сказала: «Елей точно меньше 25».
  • Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22».
Один мальчик и одна девочка сказали правду, а остальные двое ошиблись. Сколько елей растёт вдоль аллеи?
Ответ:
Решение:
14065
После чемпионата мира по хоккею три журналиста написали статью о сборной Германии — каждый для своей газеты.
  • Первый написал: «Сборная Германии за весь чемпионат забила больше 10, но меньше 17 шайб».
  • Второй: «Сборная Германии забила больше 11, но меньше 18 шайб за весь чемпионат».
  • Третий: «Сборная Германии забила нечётное количество шайб за весь чемпионат».
В итоге оказалось, что правы были только два журналиста. Сколько шайб могла забить сборная Германии на чемпионате? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:

© Моисеев Д. В., 2015-2026 г. Самозанятый (налог на профессиональный доход), ИНН 771586487450