Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
Ответ:
Решение:
Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.
Ответ:
Решение:
Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа $22\ldots22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число $22\ldots22$ (21 двойка)?
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить несколько клеток в таблице $9\times9$, чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток?
Ответ:
Решение:
Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером $8\times8$ клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек.
Ответ:
Решение:
Вася расставил по кругу все натуральные числа от 1 до 100 в каком-то порядке. Скажем, что число хорошо стоит, если соседнее с ним число по часовой стрелке больше, чем соседнее с ним число против часовой стрелки. Могло ли оказаться, что хорошо стоят по крайней мере 99 чисел?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы размером $6\times6$ записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится нацело на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются за одну.)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Ответ:
Решение:
Из Ёлкино в Палкино с одинаковой скоростью и равными интервалами едут грузовики, другой транспорт там не ездит. Петя и Вася вышли из Палкина в разное время и шли прямо по дороге в Ёлкино с постоянными скоростями. Петя по дороге из Палкина в Ёлкино встретил 10 грузовиков, а Вася — 9 грузовиков. Мог ли Петя идти быстрее Васи?
Ответ:
Решение:
В каждом столбце таблицы $10\times10$ записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: \[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. \] Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
Ответ:
Решение:
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Ответ:
Решение:
В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?
Ответ:
Решение:
Из четырёх одинаковых треугольников сложен выпуклый четырёхугольник. Верно ли, что у этого четырёхугольника обязательно есть параллельные стороны?
Ответ:
Решение:
В каждой вершине куба живёт число, не обязательно положительное. Все восемь чисел различны. Если число равно сумме трёх чисел, живущих в соседних с ним вершинах, то оно счастливо. Какое наибольшее количество счастливых чисел может жить в вершинах куба?
Ответ:
Решение:
Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?
Ответ:
Решение:
В таблице $6\times6$ изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами?
Ответ:
Решение:
Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
Ответ:
Решение:
Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение:
В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно еще 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелета?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие составные натуральные числа $m\gt n\gt 1$, что у чисел $m$, $n$, $m+n$ и $m-n$ наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
Ответ:
Решение: