Шахматный король находится на поле a1 шахматной доски и хочет пройти на поле h8, двигаясь вправо, вверх или вправо-вверх. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображена схема трассы для картинга. Старт и финиш в точке $A$, причем картингист по дороге может сколько угодно раз заезжать в точку $A$ и возвращаться на круг.
На путь от $A$ до $B$ или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направления движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).
На путь от $A$ до $B$ или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направления движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).
Ответ:
Решение:
Планета Гексания имеет форму куба. Всего на Гексании шесть жителей — на каждой из шести граней живет либо рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду и не может солгать, а лжец — наоборот — не может сказать правду. Каждый гексанин утверждает, что если выбрать случайным образом одного из его соседей, то он с вероятностью 0,5 окажется рыцарем и с вероятностью 0,5 — лжецом. Даже рыцарь Ланселот утверждает то же самое. Сколько на Гексании рыцарей и сколько лжецов?
Ответ:
Решение:
В архипелаге Новая Гексания шесть островов. Каждый остров соединен мостами с четырьмя другими, как показано на рисунке. Если два острова соединены, то жители этих двух островов считают себя соседями. Всего на островах шесть обитателей — на каждом острове живет либо рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду и не может солгать, а лжец — наоборот — не может сказать правду. Каждый островитянин утверждает, что если выбрать случайным образом одного из его соседей, то он с вероятностью 0,5 окажется лжецом и с вероятностью 0,5 — рыцарем. Даже рыцарь Персиваль утверждает то же самое. Сколько на островах рыцарей и сколько лжецов?
Ответ:
Решение:
В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров, по крайней мере, один министр — жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?
Ответ:
Решение:
Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб — прибавлять 3, Саша — делить на 4, Андрей — вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?
Ответ:
Решение:
После футбольного матча тренер построил команду в шеренгу, как показано на рисунке, и скомандовал: «В раздевалку бегут те, у кого номер меньше, чем у любого из соседей». После того, как несколько человек убежало, он повторил свою команду. Тренер продолжал до тех пор, пока не остался один игрок. Какой номер у Игоря, если известно, что после того как он убежал, в шеренге осталось 3 человека? (После каждой команды убегали один или несколько игроков, после чего шеренга смыкалась, и пустых мест между оставшимися игроками не оставалось.)
Ответ:
Решение:
В квадрате $4\times4$ в отмеченной серым фоном клетке стоит фишка. За одно действие фишка перемещается в соседнюю по стороне клетку, по направлению стрелочки, на которой стоит. Также после каждого перемещения стрелочка в клетке, где только что была фишка, меняется на противоположную. С какой клетки фишка выйдет за границу квадрата? В ответе укажите строку и столбец этой клетки.
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) столбец 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) столбец 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) столбец 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) столбец 4 |
Ответ:
Решение:
На доске написано число 20. За один ход разрешается либо удвоить число, либо стереть его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 25?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В таблице $3\times3$ записаны числа, как показано на рисунке. За ход разрешается выбрать три клетки в форме трёхклеточного уголка и уменьшить число в каждой из них на 1. Покажите, как такими операциями сделать таблицу, в которой во всех клетках стоят нули.
Ответ:
Решение:
У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому покупателю нужно 70 наклеек, а второму и третьему — по 60 наклеек. Как продавцу отсчитать каждому покупателю нужное число наклеек за 70 секунд, если за одну секунду он отсчитывает ровно одну наклейку?
Ответ:
Решение:
На доске в произвольном порядке выписаны числа от 1 до 2017. Два числа можно поменять местами, если одно из них делится на другое. Докажите, что за несколько таких операций числа можно расположить в порядке возрастания.
Ответ:
Решение:
На берегах озера по кругу стоит 5 пристаней, на каждой человек, у одного из них одноместная лодка. Люди с соседних пристаней в ссоре, и встречаться друг с другом не хотят. Как каждому из них перебраться на соседнюю по часовой стрелке пристань, если передвигаться можно только по озеру?
Ответ:
Решение:
Имеются четыре гири, весящие 1, 2, 3 и 4 кг, и ржавые чашечные весы, которые остаются в равновесии, если разность весов на чашах не превосходит 2 кг (а иначе перевешивает более тяжелая чаша). Как с их помощью определить, какая гиря сколько весит?
Ответ:
Решение:
Есть три сосуда объёмом 3 л, 4 л и 5 л без делений, кран с водой, раковина и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде количество воды было равно количеству сиропа?
Ответ:
Решение:
Петя записал на доску два целых числа. Каждую минуту Вася записывал на доску новое число, равное сумме двух каких-то чисел на доске. Спустя пять минут на доске оказались числа 21, 15, 12, 9, 6, 3, $-3$. Выберите все числа, которые гарантированно были записаны Васей.
Ответ:
Решение:
Есть две кучки по 11 монет в каждой. Известно, что в каждой кучке 10 настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее 8 настоящих монет?
Ответ:
Решение:
100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и Вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но Вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках стало поровну.
Ответ:
Решение:
В каждой клетке полоски $1\times N$ стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные. Число $N$ назовём позитивным, если из расстановки из $N$ минусов Ваня такими операциями может получить расстановку из $N$ плюсов.
Рассмотрим числа $3, 4, 5, \ldots, 1400$. Сколько среди них позитивных?
Рассмотрим числа $3, 4, 5, \ldots, 1400$. Сколько среди них позитивных?
Ответ:
Решение: