Клетки бумажного квадрата $8\times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2\times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Ответ:
Решение:
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
Ответ:
Решение:
Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем $M$ можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся $M$ человек, указавших один и тот же фильм?
Ответ:
Решение:
В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение:
Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов. Обязательно ли найдётся треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет?
Ответ:
Решение:
В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ:
Решение:
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали $1$ очко за победу, $\frac12$ — за ничью и $0$ — за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Ответ:
Решение:
От станции Узловая до посёлка Дальний по расписанию ходит автобус. На конечной остановке в Дальнем автобус разворачивается и немедленно отправляется в обратный путь, который занимает столько же времени, сколько дорога от станции до посёлка.
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
Иван Петрович поехал со ст. Узловая в Дальний и вернулся в тот же день последним рейсом автобуса. Он заметил, что на обратном пути автобус вёл тот же водитель, что и на пути в посёлок. Сколько водителей работает на маршруте и сколько было времени, когда Иван Петрович уезжал со станции в посёлок?
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
| Отправление | Прибытие |
|---|---|
| 7:20 | 10:00 |
| 10:40 | 13:20 |
| 12:00 | 14:40 |
| 13:05 | 15:45 |
| 16:10 | 18:50 |
| 17:30 | 20:10 |
Ответ:
Решение:
От станции Узловая до посёлка Дальний по расписанию ходит автобус. На конечной остановке в Дальнем автобус разворачивается и немедленно отправляется в обратный путь, который занимает столько же времени, сколько дорога от станции до посёлка.
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
Алексей Иванович поехал со ст. Узловая в Дальний первым рейсом автобуса и вернулся в тот же день. Он обратил внимание, что на обратном пути автобус вёл тот же водитель, что и утром. Сколько водителей работает на маршруте и сколько было времени, когда Алексей Иванович вернулся на станцию?
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
| Отправление | Прибытие |
|---|---|
| 7:20 | 10:00 |
| 10:40 | 13:20 |
| 12:00 | 14:40 |
| 13:05 | 15:45 |
| 16:10 | 18:50 |
| 17:30 | 20:10 |
Ответ:
Решение:
В колоде 36 игральных карт четырех мастей от шестерки до туза. Володя и Маша тянут по одной карте. Сначала тянет карту Володя, а затем Маша. Маша выиграет, если она вытащит карту старше, чем карта Володи. Иначе выигрывает Володя.
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?
Ответ:
Решение:
Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Ответ:
Решение:
Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 18 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните, почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 18 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните, почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Ответ:
Решение:
У Аси и Васи есть 3 монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты — камень и ножницы, на сторонах третьей — бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то — ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?
Ответ:
Решение:
Федя предложил Васе сыграть в игру: нужно бросить две игральные кости и перемножить выпавшие числа.
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть выше, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:
- А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
- Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть ниже, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:
- А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
- Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.
Ответ:
Решение:
Тридцать шесть игроков играют в игру: из колоды, в которой 36 игральных карт, игроки по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и случайную карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т.д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
Ответ:
Решение:
У Вали в шкатулке три синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Ответ:
Решение:
У Вали в шкатулке четыре синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Ответ:
Решение: