В вершинах правильного 30-угольника разместили 28 белых и 2 чёрных фишки, причем чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB=30$, $BC=24$, $AC=18$. На стороне $BC$ отмечено последовательно $23$ точки: $B_1, B_2, \ldots, B_{23}$ так, что эти точки разбивают $BC$ на $24$ единичных отрезка. Аналогично, на стороне $AC$ отмечено последовательно $17$ точек: $A_1, A_2, \ldots, A_{17}$ так, что эти точки разбивают $AC$ на $18$ единичных отрезков. Сколько существует треугольников с площадью $11$ и вершинами, которые выбираются из точек $A, A_1, A_2, \ldots, A_{17}, B, B_1, B_2, \ldots, B_{23}, C$?
Ответ:
Решение:
Даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости $\alpha$, а остальные 5 расположены вне плоскости $\alpha$. Известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — $\alpha$. Сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (Пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.)
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=3$ и $y=4$ отмечено по 73 точки с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 73$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=1$ и $y=12$ отмечено по $200$ точек с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 200$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных $400$ так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $x=0$ и $x=2$ отмечено по 62 точки с ординатами $1, 2, 3, \ldots, 62$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(60,45)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(50,30)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами трапеций.
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного $12$-угольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного девятиугольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $18$ параллельных между собой прямых, в другом $27$ параллельных между собой прямых, в третьем — $32$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
На клетчатой доске размера $22\times 25$ (длина стороны клетки равна $1$) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины $7$ и $4$ (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольный треугольник с катетами, равными 7 клеткам (катеты идут по линиям сетки). Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество треугольников можно найти на этом рисунке?
Ответ:
Решение:
В кошельке у купца Ганса лежат 20 серебряных монет по 2 кроны, 15 серебряных монет по 3 кроны и 3 золотых дуката (1 дукат равен 5 крон). Сколькими способами Ганс может уплатить сумму в 10 дукатов? Монеты одного достоинства неразличимы.
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.
Ответ:
Решение:
Привокзальные часы имеют три электронных циферблата, которые показывают текущее время в часах, минутах и секундах соответственно. Очередные сутки начинаются, когда на табло часов светятся три нуля, а заканчиваются в $23$ часа $59$ минут $59$ секунд. Сколько раз в течение суток сумма числа часов и минут на них равняется числу секунд?
Ответ:
Решение:
Найти зависимость от $n$ числа целых неотрицательных решений уравнения \[ x_1+x_2+\ldots+x_n=m \] при $m=2$ и $m=3$. При каком $n$ число решений для $m=3$ будет в четыре раза большим, чем число решений для $m=2$?
Ответ:
Решение: