Готовые варианты контрольных — за минуты

Точка $A$ на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=-3x^2+2$ и $x=-4y^2+2$. Найдите это расстояние.

Гипербола $y=5/x$ пересекается с прямой $2x+y=12$ в точках $A$ и $B$, а с прямой $x+2y=8$ — в точках $C$ и $D$. Найдите координаты точки, равноудалённой от точек $A$, $B$ и $C$.

Найдите наименьшую длину отрезка $AB$, если точка $A$ принадлежит множеству, задаваемому уравнением $y^2-3x^2-2xy-9-12x=0$, а точка $B$ — множеству, задаваемому уравнением $x^2-8y+23+6x+y^2=0$.

Для производственного процесса необходимо изготовить лекало из металлической пластины-заготовки, которая имеет форму прямоугольной трапеции. В заготовке имеется технологическое отверстие, которое можно принять за точку, расположенную в 2 см от меньшей боковой стороны, имеющей длину 4,5 см, и в 0,5 см от большего основания трапеции. Длины оснований трапеции равны 1,5 см и 6 см. Требуется провести на пластине кривую линию разреза так, чтобы расстояние от любой точки этой линии до большего основания трапеции было бы равно расстоянию от этой точки до технологического отверстия. Определите, в каком отношении линия разреза делит каждую из боковых сторон пластины.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопились сотни тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства может быть существенно осложнено возрастающей угрозой столкновения с этим мусором. Согласно результатам исследований удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью, равной 9000 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Пусть уравнение траектории движения обломка задано следующим образом: $81x^2+65(y-4)^2=5265$. На некотором удалении от указанной орбиты находится космическая научная станция, уравнение движения которой $36x^2+20(y-4)^2=720$. С нее стартует летательный аппарат, который движется по переходной эллиптической траектории: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y-y_0)^2}{z^2}=1$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Известно, что скорость движения по эллиптической орбите вида $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{(y-c)^2}{a^2}=1$, $a\geqslant b$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, с большой полуосью, равной $a$, вычисляется по формуле \[ V=\sqrt{\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)}, \] $\mu\approx3{,}9\cdot10^5$ км$^3$/с$^2$ — гравитационный потенциал Земли, $r$ — расстояние от начала координат, расположенного в одном из фокусов эллипса, до движущейся точки.
Найдите максимальную скорость движения осколков космического мусора на указанной орбите. Определите параметры $z$, $y_0$, если известно, что переходная траектория должна проходить через точку, в которой скорость движения обломков максимальна и проходить через точку орбиты научной станции, в которой скорость движения станции минимальна. Выпишите уравнение переходной орбиты.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью равной 5000 км, малой — 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x^2+4y^2=25$.
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$. С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+1)^2=-9\cdot(x-7)/4$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ 5x^2+5y^2-10x-20y+24=0, \] а точка $B$ — одному из графиков семейства функций \[ y=\left(k^2+2k+3\right)|x-3|, \] $k\in\mathbb{R}$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ y^2x^6-729=8yx^6-16x^6, \] а точка $B$ — множеству решений уравнения \[ |x|+|y-4|=3? \] В ответ запишите квадрат найденной наименьшей длины.

Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению \[ |y-x|=(y+x+1)(5-x-y), \] а стороны параллельны прямым $y=x$ и $y=-x$? В ответ запишите квадрат значения найденной площади.

В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, а медианы треугольника пересекаются в точке $E$. Треугольник $ABC$ расположен на координатной плоскости $Oxy$ так, что точка $A$ лежит на оси $Oy$, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно оси $Oy$, а точки $C$, $D$ и $E$ лежат на графике функции $y=\left(x^2-5\right)^2$. Найти уравнение прямой $CD$ и площадь треугольника $ABC$.

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $y=a-bx^2$). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$, и при этом $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$.

На чертеже есть парабола и три точки $A$, $B$, $C$. Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины $O$ параболы до прямой $AC$ равно 2. Найдите площадь треугольника $OAB$, если $AC=4$, а $BC=3$.

Три графика параболы $y=Cx^2$ повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1.

Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида \[ y=\pm x^2+c,\quad\text{где } c\in\mathbb{Z}. \] Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Размер тетрадной страницы (высота $\times$ ширина) равен $210\times 297$ мм.
Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).

Кривая на координатной плоскости задана уравнением \[ (|x|-5)^2+(y-4)^2=\left(2-\frac{|x|}{x}\right)^2. \] Среди всех прямых, касающихся этой кривой в двух точках, найдите ту прямую, которая наименее удалена от точки с координатами $\left(10-4\sqrt6;6\right)$.

Кривая, заданная уравнением \[ y=x^2+px+q, \] пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$, а ось $Oy$ — в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, а сумма ее координат равна $(-2023)$. Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$.

Отрезок $AB=1$ лежит на прямой $l$ и пересекается с отрезком $CD=m$ в точке $O$, причём \[ CO:OD=k,\quad \angle AOC=60^\circ,\quad AC\neq BD. \] Для каких пар чисел $m$ и $k$ отрезок $AB$ можно передвинуть по прямой $l$ так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство $AC=BD$?

Медиана $BD$ треугольника $ABC$ равна $\sqrt{785}$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AB$. На этой прямой лежит точка $O$, $\angle BOC=90^\circ$. Окружность с центром в точке $O$, проходящая через точку $A$, пересекает прямую $BO$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $OAC$, если $MC=10\sqrt{17}$, тангенс угла $CAB$ равен $7/9$.

К графику функции $y=-\frac{x^2}{12}+x-\frac{16}{3}$ проведена касательная, пересекающая график функции $y=3|x+6|-\frac73$ в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A$, $B$ и $C\left(-6;-\frac73\right)$, если $\angle CAB=2\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}+\angle CBA$.