Решение задач этого раздела следует начинать с осмысления условия и выбора подходящей системы координат, в которой наиболее просто найти координаты нужных точек и векторов.
Грани $ABC$ и $ABD$ пирамиды $ABCD$ ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием $AB$. Известно, что $AB=1$, $CD=2$. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD$, расстояние между прямыми $AC$ и $BD$ и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро основания $ABCD$ равно 1, а боковое ребро равно $\sqrt{\dfrac32}$. На ребре $SB$ выбрана точка $K$ так, что $BK=3KS$. Сфера $\omega$ с центром на отрезке $DK$ проходит через точки $S$ и $C$. Найти, в каком отношении центр сферы $\omega$ делит отрезок $DK$, радиус сферы $\omega$ и длину отрезка, который $\omega$ отсекает от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $ABCD$ равна $4\sqrt{3}$, $\angle DAB=\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{37}{3}}$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины ребер $AD$, $BD$, $CD$ соответственно. Найти:
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
Ответ:
Решение:
Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$, точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $E$ лежит на ребре $CD$ и $EC:ED=1:2$, точка $F$ — центр грани $ABC$. Найти угол между прямыми $BC$ и $KE$, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $E$ и $F$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA'B'C'$ служит прямоугольный треугольник с катетами $AB=3$ и $AC=4$. Через середину бокового ребра $BB'=10$ параллельно $AC$ проведена прямая $l$. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки $A$ и $B$, а остальные вершины лежат на прямых $A'C$ и $l$ соответственно?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В квадрат $ABCD$ вписан прямоугольник $MNLK$ так, что одной из его вершин является точка $M$, а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник $M_1N_1L_1K_1$ является ортогональной проекцией прямоугольника $MNLK$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали четырехугольника $MK_1L_1N$ перпендикулярны. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ ($S$ — вершина) со стороной основания 2 и боковым ребром 4. Точка $X$ лежит на прямой $SF$, точка $Y$ — на прямой $AD$, причём отрезок $XY$ параллелен плоскости $SAB$ (или лежит в ней). Найдите наименьшую возможную длину отрезка $XY$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна 8, высота $SO$ равна 3. Точка $M$ — середина ребра $SB$, точка $K$ — середина ребра $BC$. Найти:
- объем пирамиды $AMSK$;
- угол между прямыми $AM$ и $SK$;
- расстояние между прямыми $AM$ и $SK$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $6$, точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $B_1C_1$ соответственно, а точка $K$ расположена на ребре $DC$ так, что $DK=2KC$. Найти:
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
Ответ:
Решение:
По диагоналям оснований $AC$ и $B_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B_1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши, и закончили, когда Леша оказался в точке $D_1$. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?
Ответ:
Решение:
На рёбрах $BC$, $AB$ и $A_1B_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $BC:BK=AL:LB=B_1M:MA_1=2$. Прямая $\ell$ пересекает прямые $CD$, $C_1K$, $B_1D_1$ и $LM$ в четырёх различных точках $E$, $F$, $G$ и $H$ соответственно. Найдите длину отрезка $HE$, если известно, что $GE=3$.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KD=1:2$ и $BM:MD=CN:ND=1:1$. Точки $E$ и $F$ лежат на прямых $CM$ и $BK$ соответственно, причём $EF\parallel AN$. Найдите отношение $EF:AN$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=15$ и $BC=25$. Боковые ребра пирамиды равны $5\sqrt{17}$. На ребрах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $N$ так, что $AK=CN=8$. Через точки $K$ и $N$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SB$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.
Ответ:
Решение:
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $1$.
а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACD_1$.
а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACD_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны. На середине высоты $SO$ пирамиды взята точка $M$. Найти угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки $B$ и $M$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны. На середине бокового ребра $SD$ взята точка $M$. Найти угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки $B$ и $M$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMD_1)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMD_1)$ и прямой $AB$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMD_1)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMD_1)$ и прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMK)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMK)$ и прямой $AB$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMK)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMK)$ и прямой $AB$.
Ответ:
Решение: