Восемь бумажных квадратов $2\times2$ последовательно выкладывали на стол, пока не получился большой квадрат $4\times4$. Последним на стол положили квадрат $E$. На рисунке изображено, как видны квадраты: квадрат $E$ видно полностью, остальные квадраты видно частично. Какой квадрат положили на стол третьим по счёту?
Ответ:
Решение:
Школьники Александр, Борис, Сергей, Дарья и Елена с понедельника по пятницу посещали занятия хора. Известно, что:
- в каждый из пяти дней ровно трое из школьников присутствовали, а ровно двое отсутствовали;
- никто из школьников не отсутствовал два дня подряд и никто не присутствовал три дня подряд;
- Елена пропустила на два дня больше, чем Борис;
- был только один день, когда Александр и Сергей одновременно были на занятии;
- в понедельник Сергей был на занятии.
Ответ:
Решение:
В белом клетчатом квадрате $5\times5$ Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате $2\times2$ оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных строках и в разных столбцах. После этого получился рисунок, изображённый ниже.
Какие пять клеток перекрасил Вася? Постройте соответствие.
Какие пять клеток перекрасил Вася? Постройте соответствие.
| $\bullet$ В строчке $A$ перекрашенная клетка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 1. |
| $\bullet$ В строчке $B$ перекрашенная клетка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 2. |
| $\bullet$ В строчке $C$ перекрашенная клетка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 3. |
| $\bullet$ В строчке $D$ перекрашенная клетка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 4. |
| $\bullet$ В строчке $E$ перекрашенная клетка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 5. |
Ответ:
Решение:
В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было).
Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?»
Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?»
Среди ответов встретились числа 7, 9, 10, 12, 15, 16, 19 и 21 (все дети ответили верно).
Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?»
Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?»
Среди ответов встретились числа 7, 9, 10, 12, 15, 16, 19 и 21 (все дети ответили верно).
- Сколько детей учится в самом большом классе параллели?
- Сколько девочек пришло на собрание параллели?
Ответ:
Решение:
В многодетной семье Ивановых нет близнецов. Репортёр приехал к Ивановым, чтобы взять у них интервью.
Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного подумав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети пошутили, и лишь шестеро сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если известно, что мальчиков у Ивановых на 4 больше, чем девочек? Укажите все возможные варианты.
Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного подумав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети пошутили, и лишь шестеро сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если известно, что мальчиков у Ивановых на 4 больше, чем девочек? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Школьники Анна, Богдан, Вероника, Герман и Диана собирали грибы. Известно следующее:
- Всего было собрано 30 грибов;
- Мальчики собрали грибов суммарно столько же, сколько и девочки;
- Богдан собрал грибов больше, чем любые два других школьника вместе взятые;
- Анна собрала грибов столько же, сколько Герман и Диана вместе взятые;
- Кто-то собрал ровно 8 грибов.
Ответ:
Решение:
Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего
- Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 6»,
- на что Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14».
Ответ:
Решение:
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в направлении его взгляда. Известно, что:
- Алю никто не видит;
- Беня не видит Веню, но видит Гешу;
- Веня видит Беню, но не видит Дусю;
- Геша не видит никого;
- Дуся стоит раньше Геши, но не видит его.
Ответ:
Решение:
В таблице $6\times6$ отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли.
1. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
2. Найдите количество отмеченных клеток.
1. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
2. Найдите количество отмеченных клеток.
Ответ:
Решение:
Одно из чисел $a$, $b$, $c$ положительно, одно — отрицательно, одно — равно 0. Определите, какое из чисел положительно, какое — отрицательно, и какое равно 0, если известно, что \[ab^2(a+c)(b+c)\lt 0.\]
Ответ:
Решение:
Четыре мальчика заглянули в коробку, где лежат цветные шарики. На вопрос, каких цветов шарики там лежат, они ответили так.
- Петя: «Красные, синие и зелёные.»
- Вася: «Красные, синие и жёлтые.»
- Коля: «Красные, жёлтые и зелёные.»
- Миша: «Жёлтые, зелёные и синие.»
Ответ:
Решение:
На поле игры «Сапёр» в некоторых клетках стоит по одной мине. В остальных клетках расставлены числа, равные количеству мин в соседних (по стороне или углу) клетках. На поле $9\times6$ известны некоторые числа, как показано на рисунке. Сколько мин на этом поле? Найдите все варианты.
| 1 | 2 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ответ:
Решение:
По кругу лежат 36 шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что:
2. Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.
- для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик;
- для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежат ровно три шарика.
2. Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят).
Белоснежка попросила снять колпак тех, рядом с которыми стоит хотя бы один гном с плохим настроением. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак сняли все гномы.
Удивившись, Белоснежка переставила гномов, всем надела колпаки и повторила свою просьбу. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак снял только Простачок.
У кого из гномов сегодня плохое настроение?
Белоснежка попросила снять колпак тех, рядом с которыми стоит хотя бы один гном с плохим настроением. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак сняли все гномы.
Удивившись, Белоснежка переставила гномов, всем надела колпаки и повторила свою просьбу. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак снял только Простачок.
У кого из гномов сегодня плохое настроение?
Ответ:
Решение: