Известно, что при некоторых $x,y\in(0;\pi]$ ровно два из четырёх чисел \[ \sin^2 x,\quad \sin^2 y,\quad \sin^2 x+\cos^2 y+2-\cos^2 2x,\quad 2+\sin^2 2x \] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x-y}{\pi}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все тройки чисел $(x;y;z)$, для которых \[ \begin{cases} 5\sin^2 x+\cos^2 x-4\sin x+y^2=0,\\ \cos x+\cos y+\cos z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решить систему: \[ \begin{cases} \operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x=2\sin^2y,\\ \sin^2y+\cos^2z=1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(1-\cos x\cos\dfrac{\pi}{8}\right)^2-\sin^2 x\sin^2\dfrac{\pi}{8}+\left(2\sin 2x-\sqrt{2}\right)^2\leqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Найти все решения $(x;y)$ уравнения $(2\sin(x+y)+3)(\cos(2x-y)-1)=-10$, лежащие на прямой $6x+5y=15\pi$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары чисел $(x;y)$ в прямоугольнике $0\leqslant x\leqslant 2\pi$, $0\leqslant y\leqslant 1$, для которых \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(\cos^4(xy)+1\right)=4\cos^2 x\cos^2(xy). \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[\sin^2\left(\frac{2013x}{2}\right)\cdot\cos^2(2014x)\cdot\sin^2\left(\frac{2015x}{2}\right)=1.\]
Ответ:
Решение:
Определите минимальное значение величины $|x+y|$ при условии, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 5\cos(x+4y)-3\cos(x-4y)-4\sin(x-4y)=10. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2\sin x+\sin^2 y-\sin^2 x\cos^2 y=1, \\ 2\cos^2 x+4\sin x-\cos^3 y=5. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \mathrm{tg}^2\,\pi(x-y)+\mathrm{ctg}^2\,\pi(x-y)=\sqrt{\dfrac{2x}{x^2+1}}+1, \\ x^2+y^2\leqslant 10. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4\cos^2 2x\cdot\sin^2\dfrac x3+4\sin\dfrac x3-4\sin^2 2x\cdot\sin\dfrac x3+1=0,\\ \sin\dfrac x2+\sqrt{\cos y}=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{2\operatorname{tg}^4 6x+4\sin4x\sin8x-\cos8x-\cos16x+2}{\sqrt{\cos x-\sqrt3\sin x}}=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: