Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-\frac12}{x-\frac{23}{32}}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x}-\frac14}.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{3-2x}{1+2x}}+\dfrac{\sqrt{1+2x}}{2\sqrt{3-2x}-\sqrt2}\geqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\dfrac{\left(\sqrt{x+3}+x-3\right)\left(\sqrt{4x+5}+x-4\right)}{\sqrt{4+4x-x^2-x^3}}\leqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(x,y)$, при каждой из которых для чисел \[ u=\sqrt{4+x^3-9x}-x-3^y\quad\text{и}\quad v=2-x-3^y \] справедливы все три следующих высказывания сразу:
- если $|u|\gt |v|$, то $u\gt 0$;
- если $|u|\lt |v|$, то $v\lt 0$;
- если $|u|=|v|$, то $v\lt 0\lt u$.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное натуральное число $n$, при котором система неравенств \[\cos x\geqslant\cos\left(x+\frac{1}{8}\right)\geqslant\cos\left(x+\frac{2}{8}\right)\geqslant\ldots\geqslant\cos\left(x+\frac{n}{8}\right)\] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найдите суммарную длину отрезков, составляющих решение неравенства \[|2\sin x+3\cos x|+|\sin x-3\cos x|\leqslant 3\sin x\] на отрезке $[0;4\pi]$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех принадлежащих отрезку $[-75;5]$ целых решений неравенства \[ \dfrac{\sin\frac{\pi x}{2}-\cos\frac{\pi x}{2}+1}{\sin\frac{\pi x}{2}+\cos\frac{\pi x}{2}-1}\geqslant\sin\left(\arcsin\dfrac{x}{10}\right)-\dfrac{x}{10}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(\sqrt3-\sqrt2\right)^{(\log_2 3)^{4-x^2}}\leqslant\left(\sqrt3+\sqrt2\right)^{-(\log_3 2)^{2x-1}}. \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[a^2\lt b\quad\text{и}\quad b^2\lt c\quad\text{и}\quad c^2\lt a.\] Докажите, что все три числа $a$, $b$ и $c$ меньше 1.
Ответ:
Решение:
Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных.
Ответ:
Решение:
Множество $A$ состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Множество $B$ также состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Докажите, что найдётся число, которое принадлежит как множеству $A$, так и множеству $B$.
Ответ:
Решение: