Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?
Ответ:
Решение:
Отец и сын несут одинаковые банки консервов. Масса каждой банки выражается целым числом граммов, не меньшим чем 300, но не большим чем 400. Отец несёт 6 кг 500 г, а сын — 2 кг 600 г. Сколько банок у отца и сколько у сына?
Ответ:
Решение:
Маша и Оля купили в магазине много одинаковых ручек для нового учебного года. Известно, что одна ручка стоит целое число рублей, большее 10. Маша купила ручек ровно на 357 рублей, а Оля — ровно на 441 рубль. Сколько суммарно ручек они купили?
Ответ:
Решение:
В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?
Ответ:
Решение:
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13 сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное $N\gt 1$ хорошим, если найдутся такие натуральные числа $a_1, \ldots, a_N$, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют $\dfrac{N(N-1)}{2}$ последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее $10^{100}$?
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального $d\lt p+q$ найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на $d$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных $0\lt k\lt m\lt n$ числа $C_n^k$ и $C_n^m$ не взаимно просты. ($C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число способов выбрать $k$ элементов из $n$ различных элементов без учёта порядка.)
Ответ:
Решение:
Петя загадал положительную несократимую дробь $x=\dfrac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что в таблице $8\times8$ нельзя расставить натуральные числа от $1$ до $64$ (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата $2\times2$ вида \[\begin{array}{|c|c|}\hline a&b\\\hline c&d\\\hline\end{array}\] было выполнено равенство $|ad-bc|=1$.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого положительного $x$ найти наибольший общий делитель чисел $P_1(x)=x^3+5x^2+4x+15$ и $P_2(x)=x^4+5x^3+15x+3$.
Ответ:
Решение:
Определите какое наименьшее значение может принимать НОК четырёх натуральных чисел, если их сумма равна 2023.
Ответ:
Решение:
Известно, что $4001$ — простое число. Найдите все натуральные $n$, при которых \[ n(n+4001) \] является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \text{НОК}(a,b)=60\quad\text{и}\quad\text{НОК}(a,c)=270 \] ($\text{НОК}(x,y)$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.) Найдите $\text{НОК}(b,c)$.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером $m\times n$ клеток, причём числа $m$ и $n$ взаимно просты и $m\lt n$. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения $m$ и $n$ при данных условиях.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[ F=\dfrac{(5n-18)\,\text{НОД}(n+9,n+2)}{\text{НОК}(n+9,n+2)} \] на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n\leqslant 2020$, для которых дробь $\frac{6n^3+n^2-5n+12}{6n^2+7n+2}$ сократимая?
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует набор натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$, для которых \[ 2\cdot\text{НОК}\,(a_1,a_2,\ldots,a_{2019})=a_1+a_2+\ldots+a_{2019}. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\frac{m(n+69m)}{n(m+69n)}$ сократимая для некоторых взаимно простых целых чисел $m$ и $n$. Найти наибольшее простое число $d$, на которое делится числитель и знаменатель дроби.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(a;b)$ такие, что \[ \begin{cases} 4\cdot\min(a;b)=3(a-b)^2,\\ 3\cdot\max(a;b)=\text{НОК}(a;b). \end{cases} \]
Ответ:
Решение: