Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее 60% карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Доказать, что в школе есть ученик, забравший более 58% карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.
Ответ:
Решение:
На конкурсе проектов участвовало 12 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и ещё $M$ человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 12 по своему усмотрению, но каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своём списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более чем на три. Победителем признаётся проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм — 23, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Чему равно $M$?
Ответ:
Решение:
На конкурсе проектов участвовало 10 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и ещё 7 человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 10 по своему усмотрению каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своём списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более, чем на три. Победителем признаётся проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из восьми членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Какая сумма мест была у победителя?
Ответ:
Решение:
На складе находятся товары общей массой 1300 тонн, которые размещены в различные контейнеры. Вес каждого такого контейнера не более 10 тонн. Эти контейнеры грузят в железнодорожные вагоны, вместимость которых не более 60 тонн. Для вывоза товара со склада необходимо сформировать железнодорожный поезд. Какое наименьшее количество вагонов должно быть в этом поезде, чтобы гарантированно вывезти весь товар со склада за один раз? (Размеры контейнеров не учитывать.)
Ответ:
Решение:
В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл $100$ заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.
Ответ:
Решение:
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
Ответ:
Решение:
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить $k$ вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если: а) $k=6$; б) $k\geqslant 7$?
Ответ:
Решение:
Дано $n$ палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение:
Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
Ответ:
Решение:
На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно $+1$ или $-1$, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?
Ответ:
Решение:
Функция $f$ каждому вектору $\vec v$ (с общим началом в точке $O$) пространства ставит в соответствие число $f(\vec v)$, причём для любых векторов $\vec u$, $\vec v$ и любых чисел $\alpha$, $\beta$ значение $f(\alpha\vec u+\beta\vec v)$ не превосходит хотя бы одного из чисел $f(\vec u)$ или $f(\vec v)$. Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Ответ:
Решение:
Федерация спортивной борьбы присвоила каждому участнику соревнования квалификационный номер. Известно, что во встречах борцов, квалификационные номера которых отличаются более чем на $2$ номера, всегда побеждает борец с меньшим номером. Турнир для $256$ борцов проводится по олимпийской системе: в начале каждого дня бойцы разбиваются на пары, проигравший выбывает из соревнований (ничьих не бывает). Какой наибольший квалификационный номер может иметь победитель?
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $\Pi$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на девять маленьких прямоугольников. Про какое наименьшее количество маленьких прямоугольников достаточно узнать площади, чтобы можно было однозначно определить площадь прямоугольника $\Pi$?
Ответ:
Решение:
Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел $(x_1,\ldots,x_n)$. Например, размах набора $(4,1,7,1,3)$ равен $6$ (разность $7$ и $1$).
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Ответ:
Решение:
Империя Горных гномов состоит из $2023$ королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие $1012$ королевств, которые производят не менее $50\%$ золота и не менее $50\%$ алмазов (от общего производства в империи)?
Ответ:
Решение:
Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа $0, 1, 2, \ldots, 7, 8, 7, 6, \ldots, 2, 1$. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остановки стола. Оказалось, что после 13 вращений стола игрок номер 5 набрал в сумме 72 очка, а игрок номер 9 набрал в сумме 84 очка. Сколько очков набрал игрок номер 1?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016$, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое?
Ответ:
Решение:
Множество $X$ состоит из пяти различных чисел $x_1$, …, $x_5$, а множество $Y$ — из семи различных чисел $y_1$, …, $y_7$. Какое наибольшее количество различных чисел заведомо содержит множество, состоящее из сумм вида $x_i+y_j$, где $i\in\{1,\ldots,5\}$, $j\in\{1,\ldots,7\}$?
Ответ:
Решение: