Даша написала на доске числа $9, 10, 11, \ldots, 22$, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя разбить на несколько групп так, чтобы суммы чисел в группах были равны. Какое наибольшее значение может иметь сумма оставшихся на доске чисел?
Ответ:
Решение:
Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху?
Ответ:
Решение:
Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии $5$ м от каждой девочки было ровно $2$ мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют $5$ мальчиков?
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $16$ точек $A_1, \ldots, A_{16}$, идущие с промежутками 1 см. Миша строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$50$-подпирающим», если для любых $50$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{50}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $14$ точек $A_1, \ldots, A_{14}$, идущие с промежутками 1 см. Коля строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$25$-подпирающим», если для любых $25$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{25}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $15$ точек $A_1, \ldots, A_{15}$, идущие с промежутками 1 см. Петя строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «20-подпирающим», если для любых 20 действительных чисел $a_1,\ldots,a_{20}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 8 расставлены в вершинах куба так, чтобы сумма чисел в любых трёх вершинах, находящихся на одной грани, была не менее 10. Какова наименьшая возможная сумма чисел, стоящих в вершинах одной грани?
Ответ:
Решение:
На окружности отмечены $18$ точек и рядом с каждой из них написано число. Каждое число равно модулю разности двух соседних с ним чисел. Наибольшее из чисел равно единице. Найти их сумму.
Ответ:
Решение:
Вася записал в тетрадь $40$ ненулевых чисел (среди которых могут быть равные), а затем дописал к ним ещё $40$ чисел, вычтя из квадрата каждого исходного числа сумму остальных исходных чисел. Какое наибольшее число отрицательных чисел среди всех $80$ выписанных чисел могло получиться у Васи?
Ответ:
Решение:
Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего $1000$ символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от $12$. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $50$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 138 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $126$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
На факультете учится $100$ студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше $50$ студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна $400$ метров. В разных местах дорожки стоят $5$ спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
В некоторой стране $65$ городов. Известно, что в любых $30$ городах проживает не менее чем $21\%$ жителей страны. Какой наибольший процент жителей этой страны может проживать в столичном городе?
Ответ:
Решение: