Олег нарисовал пустую таблицу $50\times50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске стоял 21 король. Каждый из королей находился под боем хотя бы одного из остальных. После того как несколько королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. Какое наибольшее число королей могло остаться?
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого пятиугольника отметили точку и соединили её со всеми вершинами. Какое наибольшее число из десяти проведённых отрезков (пяти сторон и пяти отрезков, соединяющих отмеченную точку с вершинами пятиугольника) может иметь длину 1?
Ответ:
Решение:
На саммит съехались 2018 политиков. Каждые двое собирались провести переговоры без свидетелей. В какой-то момент оказалось, что среди любых четверых найдётся такой, который уже поговорил с тремя остальными. Какое наибольшее количество переговоров осталось провести?
Ответ:
Решение:
У царя восемь сыновей, и все дураки. Каждую ночь царь отправляет троих из них стеречь золотые яблоки от жар-птицы. Поймать жар-птицу царевичи не могут, винят в этом друг друга, и поэтому никакие двое не соглашаются пойти вместе в караул второй раз. Какое наибольшее количество ночей это может продолжаться?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске размером $8\times9$ так, чтобы среди любых пяти подряд идущих клеток по горизонтали, вертикали или диагонали была отмеченная клетка?
Ответ:
Решение:
На доске написано $n$ различных целых чисел. Произведение двух наибольших равно 77. Произведение двух наименьших тоже равно 77. При каком наибольшем $n$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадрата размером $5\times5$ клеток провели ровно одну диагональ. Вершина клетки свободна, если она не является концом никакой из проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество свободных вершин.
Ответ:
Решение:
Треугольник разбит на треугольные ячейки так, как показано на рисунке. В каждую ячейку вписали натуральное число. Для каждой стороны треугольника есть четыре слоя, параллельных этой стороне, содержащие семь, пять, три и одну ячейку соответственно. Оказалось, что сумма чисел в каждом из этих двенадцати слоёв — простое число. Какова наименьшая возможная сумма всех записанных чисел?
Ответ:
Решение:
Экскурсионная группа из 6 туристов осматривает достопримечательности. Около каждой достопримечательности три человека фотографируются, а остальные их фотографируют. После какого минимального числа достопримечательностей каждый турист будет иметь фотографии всех остальных участников экскурсии?
Ответ:
Решение:
В шахматном турнире соревнуются друг с другом команда школьников и команда студентов, в каждой из которых по 15 человек. В течение турнира каждый школьник должен сыграть с каждым студентом ровно один раз, причём каждый день каждый человек должен играть не более одного раза. В разные дни могло проводиться разное количество игр.
В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры — $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N$.
В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры — $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
На плоскости изображены три прямые и $n$ точек так, что по обе стороны от каждой прямой находится ровно по две точки (точки, лежащие на самой прямой, не относятся ни к одной из сторон). При каких значениях $n$ такое возможно?
Ответ:
Решение:
Дана белая клетчатая таблица $8\times8$. В ней 20 клеток покрасили в чёрный цвет. Какое наименьшее количество пар соседних по стороне белых клеток могло остаться?
Ответ:
Решение:
В стране 110 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет.
Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в $N$-м городе, из которого вели уже ровно $N$ дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого $2\leqslant k\leqslant N$ из $k$-го города выходило ровно $k$ дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.)
Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в $N$-м городе, из которого вели уже ровно $N$ дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого $2\leqslant k\leqslant N$ из $k$-го города выходило ровно $k$ дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.)
Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — $1/2$, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза?
Ответ:
Решение:
На плоскости дана точка $P$. Какое наименьшее количество прямых, не проходящих через точку $P$, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с началом в точке $P$ пересекал хотя бы 170 выбранных прямых?
Ответ:
Решение:
В таблице $28\times35$ некоторые $k$ клеток покрашены в красный цвет, ещё $r$ — в розовый, а оставшиеся $s$ — в синий. Известно, что
(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы. Соседями называются клетки, имеющие общую сторону.)
- $k\geqslant r\geqslant s$;
- у каждой граничной клетки есть хотя бы 2 соседа такого же цвета;
- у каждой неграничной клетки есть хотя бы 3 соседа такого же цвета.
(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы. Соседями называются клетки, имеющие общую сторону.)
Ответ:
Решение:
Клетки таблицы $50\times50$ раскрашены в $n$ цветов так, что для любой клетки в объединении её строки и столбца встречаются клетки всех $n$ цветов. Найдите наибольшее возможное количество клеток синего цвета, если
1. $n=2$;
2. $n=25$.
1. $n=2$;
2. $n=25$.
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $2\times35$ (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого.
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?
Ответ:
Решение: