Среднее арифметическое шестнадцати различных натуральных чисел равно $21$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Вася выписал в строку натуральные числа $a_1\lt a_2\lt \ldots\lt a_{10}$. Оказалось, что среднее арифметическое этих чисел равно 25. Какое наименьшее значение может принимать число $a_{10}$?
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число. Все числа на карточках попарно различны, а наибольшее из них равно $N$. Оказалось, что среднее арифметическое чисел на карточках равно 15. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $76$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, найдётся по крайней мере один в красном колпаке. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
Для рентабельности работы таксопарк должен выпускать на линию не менее $12$ машин ежедневно. Городские власти, борясь за экологию, требуют, чтобы каждое городское такси работало не более $6$ дней в неделю. Какое минимальное число автомобилей должно быть в таксопарке, чтобы он был рентабельным и соблюдал экологию? Дни, когда автомобили не выходят на линию, определяет руководство таксопарка.
Ответ:
Решение:
Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заведомо оказалось хотя бы по одному гномику всех 12 разновидностей?
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по игре в StarCraft съехалось 100 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли ровно две партии.
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по настольному теннису съехалось 200 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли не менее трёх партий.
Ответ:
Решение:
На $100$ мест за круглым столом посадили $50$ мужчин и $50$ женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше $1{,}9$?
Ответ:
Решение:
В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ существуют $n$ чисел из интервала $(-1;1)$, таких, что их сумма равна $0$, а сумма их квадратов равна $30$?
Ответ:
Решение:
Группа авантюристов показывает свою добычу. Известно, что ровно у $13$ авантюристов есть рубины; ровно у $9$ — изумруды; ровно у $15$ — сапфиры; ровно у $6$ — бриллианты. Кроме того, известно, что
- если у авантюриста есть сапфиры, то у него есть или изумруды, или бриллианты (но не то и другое одновременно);
- если у авантюриста есть изумруды, то у него есть или рубины, или сапфиры (но не то и другое одновременно).
Ответ:
Решение:
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила $100$. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию $10$, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели $10$ в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает $300$?
Ответ:
Решение:
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью — $1/2$, за проигрыш — 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?
Ответ:
Решение:
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на $21$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на $441$ треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в такой цепочке?
Ответ:
Решение:
Тест по английскому языку сдавали $10$ школьников. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге по линиям сетки выделили прямоугольник $10\times15$ клеток. В нём отметили все узлы, в том числе и лежащие на его границе. Какое наибольшее число отмеченных узлов можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $377$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $19$ параллельных между собой прямых, в другом $23$ параллельных между собой прямых, в третьем $36$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
Вася выписал на доску в строку $1200$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $12$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?
Ответ:
Решение: