Координаты точки удовлетворяют соотношению $xy+yz+zx=4$. На каком расстоянии от плоскости $z=-3$ может лежать эта точка, если известно, что расстояние от этой точки до начала координат равно двум?
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \frac{(x-y)(x^4-y^4)}{x^2-y^2}-\frac{2xy(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2} \] при $x=1{,}\underbrace{2\ldots2}_{46}$ и $y=-2{,}\underbrace{7\ldots7}_{45}8$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $k$ выражение $2017\cdot 2018\cdot 2019\cdot 2020+k$ является квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Вычислить $\sqrt[3]{\frac{x}{2015+2016}}$, где $x$ — среднее гармоническое чисел \[ a=\dfrac{2016+2015}{2016^2+2016\cdot2015+2015^2}\quad\text{и}\quad b=\dfrac{2016-2015}{2016^2-2016\cdot2015+2015^2}. \] Средним гармоническим двух положительных чисел $a$ и $b$ называется число $c$ такое, что $\frac1c=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Для некоторых различных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства \[ x^2-y^2=15(x-y)\quad\text{и}\quad x^3-y^3=225(x-y). \] При каком наибольшем $k$ может выполняться равенство $x^7-y^7=k(x^4-y^4)$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ — положительные числа, удовлетворяющие соотношению \[x^3+y^3+(x+y)^3+33xy=2662.\] Найдите минимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Числа $a, b, c$ удовлетворяют равенству \[ 10\bigl(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\bigr)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b), \] причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы \[ S=a+b+c. \]
Ответ:
Решение:
Про действительные числа $x$, $y$, $z$ известно, что \[ xy+z=yz+x=zx+y. \] Докажите, что какие-то два из чисел $x$, $y$, $z$ равны.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}.\] Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Ответ:
Решение:
Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 7(x^3+y^3)+11(x+y)^3-63xy+486=0. \] Найдите максимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что \[x+y+z+t=0.\] Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10 000, может принимать число \[(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?\]
Ответ:
Решение:
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство \[ (n\cdot5^n)^n=m\cdot5^9 \] было верным.
Ответ:
Решение:
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что верна пропорция \[\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\quad\text{и}\quad ad=60.\] Найдите произведение всех четырех чисел.
Ответ:
Решение: