Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=60^\circ$. Точки $D$ и $E$ симметричны его центру описанной окружности $O$ относительно сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямая $DE$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BDF$ и $CEG$ касаются.
Ответ:
Решение:
Медианы остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. На стороне $BC$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $BK=KN=NC$. Высоты треугольника $MKN$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$, касается описанной окружности треугольника $MKN$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$. На стороне $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ таким образом, что $2BX=AB$ и $2CY=AC$. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки $X$ и $Y$, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение: