В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрисы угла $ABC$ и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Из точек $B_1$ и $B_2$ провели касательные к окружности, вписанной в треугольник $ABC$, отличные от прямой $AC$. Они касаются этой окружности в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $K_1$ и $K_2$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$. Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$, пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$. Докажите, что сумма $XY+XZ$ не зависит от выбора точки $X$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$, вписан в окружность $\Omega$. На биссектрисе угла $BAC$ выбрана точка $A'$, а на биссектрисе угла $ABC$ — точка $B'$ так, что $AB'\parallel BC$ и $BA'\parallel AC$. Прямая $A'B'$ пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что треугольник $CDE$ равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Точки $D$ и $E$ — соответственно середины меньших дуг $AB$ и $BC$ окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $BD$ за точку $D$ отмечена точка $P$, а на продолжении отрезка $BE$ за точку $E$ — точка $Q$ так, что $\angle APB=\angle CQB=90^\circ$. Докажите, что середина отрезка $BL$ лежит на прямой $PQ$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ описана около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt BC$; его высоты пересекаются в точке $H$. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отмечена точка $D$ такая, что $\angle ADC=\angle ABC$. Прямая, проходящая через точку $H$ параллельно прямой $BO$, пересекает меньшую дугу $AC$ окружности $\Omega$ в точке $E$. Докажите, что $BH=DE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $I$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$ пересекает лучи $AA_1$ и $CC_1$ в точках $A_2$ и $C_2$ соответственно. Точка $O_a$ — центр описанной окружности треугольника $AC_1C_2$, точка $O_c$ — центр описанной окружности треугольника $CA_1A_2$. Докажите, что $\angle O_aBO_c=\angle AIC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность $\omega$, касающаяся стороны $BC$ в точке $K$. Окружность $\omega'$ симметрична окружности $\omega$ относительно точки $A$. Точка $A_0$ выбрана так, что отрезки $BA_0$ и $CA_0$ касаются $\omega'$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что прямая $AM$ делит отрезок $KA_0$ пополам.
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность $\omega$. Диагональ $AC$ является диаметром окружности $\omega$. Найдите $\angle BEC$, если $\angle ADB=20^\circ$.
Ответ:
Решение:
На чертеже четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через точку $D$, параллельно $AB$, пересекает $\omega$ в точке $P$. Известно, что $\angle PDC=12^\circ$, $\angle DPB=56^\circ$. Найдите величину угла $\angle ABC$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
В окружности провели диаметр $AB$ и параллельную ему хорду $CD$ так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рисунок). Найдите угол $CAB$.
Ответ:
Решение:
На окружности по часовой стрелке расположены точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, как изображено на рисунке. Известно, что $AE$ — диаметр окружности. Также известно, что $\angle ABF=81^\circ$, $\angle EDG=76^\circ$. Сколько градусов составляет угол $FCG$?
Ответ:
Решение:
Вписанный четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ADB=40^\circ$ и $\angle CDB=52^\circ$. Точка $M$ внутри четырёхугольника такова, что $\angle BAM=26^\circ$ и $\angle BCM=20^\circ$. Сколько градусов составляет угол $CBM$?
Ответ:
Решение:
Даны окружность $\omega$ радиуса 6 и точка $C$, лежащая вне её. Из точки $C$ провели касательную, касающуюся $\omega$ в точке $D$, и секущую, пересекающую $\omega$ в точках $A$ и $B$. Оказалось, что $CD=8$ и $AC=4$. Найдите площадь треугольника $BCD$.
Ответ:
Решение:
Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. На меньшей дуге $CD$ окружности $\omega$ выбрана произвольная точка $M$. Внутри квадрата отмечены такие точки $K$ и $L$, что $KLMD$ — квадрат. Найдите $\angle AKD$.
Ответ:
Решение:
Внутри квадрата $ABCD$ отмечены точки $K$ и $M$ (точка $M$ находится внутри треугольника $ABD$, точка $K$ — внутри $BMC$) так, что треугольники $BAM$ и $DKM$ равны ($AM=KM$, $BM=MD$, $AB=KD$). Найдите $\angle KCM$, если $\angle AMB=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
На полуокружности с диаметром $AD$ отмечены точки $B$ и $C$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Точка $N$ такова, что $M$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BC$ и $DN$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$, а на продолжении луча $AB$ за точку $B$ — точку $L$. Известно, что $\angle LKC=45^\circ$, $AK=1$, $KD=2$. Найдите $LB$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ ($M$ лежит на отрезке $AN$). Известно, что $AB=AN$, $BC=MC$. Описанные окружности треугольников $ABM$ и $CBN$ пересекаются в точках $B$ и $K$. Сколько градусов составляет угол $AKC$, если $\angle ABC=68^\circ$?
Ответ:
Решение: