В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Перпендикуляр, восстановленный в точке $M$ к прямой $AM$, пересекает луч $HB$ в точке $K$. Докажите, что если $\angle MAC=30^\circ$, то $AK=BC$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle B=135^\circ$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Точка $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Луч $BM$ вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что центр окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BOD$, лежит на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Точки $P$ и $Q$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABP$ и $CBQ$ лежит на отрезке $BM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH$. На стороне $BC$ отмечена точка $D$, на отрезке $BH$ — точка $E$, а на отрезке $CH$ — точка $F$ так, что $\angle BAD=\angle CAE$ и $\angle AFE=\angle CFD$. Докажите, что $\angle AEF=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Точка $E$ выбрана на отрезке $BC$ так, что $D$ — середина отрезка $CE$. Основание $T$ перпендикуляра, опущенного из $E$ на $CO$, лежит в треугольнике $ABD$. Прямая $BT$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABD$, в точке $K$. Докажите, что прямые $AK$ и $CO$ параллельны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $AM_A$, $BM_B$ и $CM_C$ пересекаются в точке $M$. Построим окружность $\Omega_A$, проходящую через середину отрезка $AM$ и касающуюся отрезка $BC$ в точке $M_A$. Аналогично строятся окружности $\Omega_B$ и $\Omega_C$. Докажите, что окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$ и $\Omega_C$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB=90^\circ$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Оказалось, что $\angle ADC=\angle BAM$. Докажите, что $\angle ADB=\angle CAM$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$ так, что $DE\parallel AC$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр $O$ треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_b$ и $\Gamma_c$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_b$ и $\Gamma_c$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая — на $\omega$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведенная к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ взята точка $D$. На меньшей дуге $CD$ окружности, описанной около треугольника $BCD$, выбрана точка $K$. Луч $CK$ пересекает прямую, параллельную $BC$ и проходящую через $A$, в точке $T$. Пусть $M$ — середина отрезка $DT$. Докажите, что $\angle AKT=\angle CAM$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Окружность, описанная около треугольника $ABL$, пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Оказалось, что точка $S$, симметричная точке $C$ относительно прямой $DL$, лежит на стороне $AB$ и не совпадает с её концами. Какие значения может принимать $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
В окружность $\omega$ вписан пятиугольник $ABCDE$. Прямая $CD$ пересекает лучи $AB$ и $AE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $EX$ и $BY$ пересекаются в точке $P$ и вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Q$ и $R$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $CD$. Окружность $\gamma$, описанная около треугольника $PQR$, пересекает окружность, описанную около треугольника $A'XY$, в двух точках. Докажите, что их можно назвать $M$ и $N$ так, чтобы прямые $CM$ и $DN$ пересекались на окружности $\gamma$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=CE$. На дуге $DE$ описанной окружности треугольника $ADE$, не содержащей точку $A$, нашлись такие точки $P$ и $Q$, что $AB=PC$ и $AC=BQ$. Докажите, что $AP=AQ$.
Ответ:
Решение:
На плоскости фиксирован остроугольный треугольник $ABC$ с наибольшей стороной $BC$. Пусть $PQ$ — произвольный диаметр его описанной окружности, причём точка $P$ лежит на меньшей дуге $AB$, а точка $Q$ — на меньшей дуге $AC$. Точки $X$, $Y$ и $Z$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямую $AB$, из точки $Q$ на прямую $AC$ и из точки $A$ на прямую $PQ$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $XYZ$ лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек $P$ и $Q$).
Ответ:
Решение:
Пусть $CE$ — биссектриса в остроугольном треугольнике $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ACB$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $F$, причём $\angle BAD=90^\circ=\angle DEF$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $CEF$, лежит на прямой $BD$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$ и отмечена точка пересечения высот $H$. Серединный перпендикуляр к отрезку $HD$ пересекает окружность, описанную около треугольника $BCD$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle APB+\angle AQB=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ описана около треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Из середины $M$ стороны $BC$ на прямую $AI$ опущен перпендикуляр $MH$. Прямые $MH$, $BI$ и $AB$ ограничивают треугольник $T_b$, а прямые $MH$, $CI$ и $AC$ ограничивают треугольник $T_c$. Описанные окружности треугольников $T_b$ и $T_c$ повторно пересекают окружность $\omega$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Докажите, что точка $H$ лежит на прямой $B'C'$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A+\angle D=90^\circ$, его диагонали пересекаются в точке $E$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$, $CD$, $AE$ и $ED$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Известно, что $AZ=CE$ и $BE=DT$. Докажите, что длина отрезка $XY$ не больше диаметра описанной окружности треугольника $ETZ$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность $\omega$. Через вершину $A$ проведена прямая $\ell_a\parallel BC$, через вершину $B$ — прямая $\ell_b\parallel CD$, через вершину $C$ — прямая $\ell_c\parallel DA$, через вершину $D$ — прямая $\ell_d\parallel AB$. Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на этих четырёх прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность $\gamma$. Окружности $\omega$ и $\gamma$ пересекаются в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямые $AC$, $BD$ и $EF$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение: