Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность. Найти радиус этой окружности, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Найти $AO$, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ выбрана точка $K$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $8$ и $2$ соответственно. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $3$. Найдите сторону ромба $ABCD$ и радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABDF$ на сторонах $BD=2$ и $DF=3$ выбрали точки $C$ и $E$ соответственно, так, что треугольник $AFE$ равен треугольнику $EDC$. Потом от прямоугольника $ABDF$ отрезали треугольники $ABC$, $CDE$ и $AFE$. Найдите углы оставшегося треугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $K$, $M$, $P$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$.
Ответ:
Решение:
В ромбе $ABCD$ с острым углом $A$ продолжение высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$, пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Известно, что высота ромба равна $1$, а $CP=\dfrac{9}{2\sqrt2}$. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ с центром $O$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ соответственно, что $\angle AOP=\angle COQ=\angle ABC$.
а) Докажите, что $\angle ABP=\angle CBQ$.
б) Докажите, что прямые $AQ$ и $CP$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle ABP=\angle CBQ$.
б) Докажите, что прямые $AQ$ и $CP$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ опустили перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. На отрезке $BH$ отметили точку $M$, равноудалённую от точек $C$ и $D$. Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Докажите, что угол $MKD$ прямой.
Ответ:
Решение:
Параллелограмм $ABCD$ имеет площадь 4. Окружность с центром в точке $O$, расположенной на отрезке $AD$, касается отрезков $AB$, $BC$ и прямой $CD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма $ABCD$, если $\dfrac{CK}{BM}=3$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ прямые $l_1$ и $l_2$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, а прямые $m_1$ и $m_2$ — биссектрисами углов $B$ и $D$ соответственно. Расстояние между $l_1$ и $l_2$ в $\sqrt3$ раз меньше расстояния между $m_1$ и $m_2$. Найти угол $BAD$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$, если $AC=\sqrt{22/3}$, $BD=2$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ касается прямой $AB$ и проходит через точки $C$ и $D$. Найти стороны параллелограмма, если его площадь $S=\sqrt2$, а $\angle BAC=\arcsin\frac13$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$. Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30^\circ$. Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна 2.
Ответ:
Решение:
Длины сторон параллелограмма равны $3$ и $2$. Биссектрисы всех его внутренних углов ограничивают на плоскости многоугольник. Найти отношение его площади к площади параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом $C$. Пусть $E$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к $AC$, проходящим через $C$, а прямая $ED$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Известно, что $CN=6$, $AN=12$, а $\mathrm{tg}\left(\frac12\angle ADC\right)=\frac45$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ окружность радиуса $1/4$ с центром на отрезке $CD$ проходит через точку $D$ и касается отрезка $BC$ в точке $E$ такой, что угол $BED$ равен $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$. Найдите высоту параллелограмма $DF$, проведённую к стороне $BC$, и длину отрезка $CD$. Найдите площадь параллелограмма, если $AB=BE$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает в точке $O$ отрезок $AE$. Найдите площадь четырёхугольника $OBCE$, зная, что $AD=12$, $DE=4$, $\angle ABO=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$ и $AC:BD=3:2$. На сторонах параллелограмма взяли последовательно точки $K$, $L$, $M$ и $N$ так, что $KLMN$ — ромб, стороны которого параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба $KLMN$ к площади параллелограмма $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ выполняется соотношение $BC=3AB$. Биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $PQ=5$.
Ответ:
Решение: