Готовые варианты контрольных — за минуты

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ соответственно. При этом $AM:MB=3:1$, $CN:NB=1:7$. Какой процент от площади четырёхугольника $AMNC$ составляет площадь треугольника $MBN$?

К графику функции $y=-\frac{x^2}{12}+x-\frac{16}{3}$ проведена касательная, пересекающая график функции $y=3|x+6|-\frac73$ в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A$, $B$ и $C\left(-6;-\frac73\right)$, если $\angle CAB=2\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}+\angle CBA$.

Медиана $BD$ треугольника $ABC$ равна $\sqrt{785}$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AB$. На этой прямой лежит точка $O$, $\angle BOC=90^\circ$. Окружность с центром в точке $O$, проходящая через точку $A$, пересекает прямую $BO$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $OAC$, если $MC=10\sqrt{17}$, тангенс угла $CAB$ равен $7/9$.

Отрезок $AB=1$ лежит на прямой $l$ и пересекается с отрезком $CD=m$ в точке $O$, причём \[ CO:OD=k,\quad \angle AOC=60^\circ,\quad AC\neq BD. \] Для каких пар чисел $m$ и $k$ отрезок $AB$ можно передвинуть по прямой $l$ так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство $AC=BD$?

Кривая, заданная уравнением \[ y=x^2+px+q, \] пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$, а ось $Oy$ — в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, а сумма ее координат равна $(-2023)$. Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$.

Кривая на координатной плоскости задана уравнением \[ (|x|-5)^2+(y-4)^2=\left(2-\frac{|x|}{x}\right)^2. \] Среди всех прямых, касающихся этой кривой в двух точках, найдите ту прямую, которая наименее удалена от точки с координатами $\left(10-4\sqrt6;6\right)$.

Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида \[ y=\pm x^2+c,\quad\text{где } c\in\mathbb{Z}. \] Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Размер тетрадной страницы (высота $\times$ ширина) равен $210\times 297$ мм.
Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).

Три графика параболы $y=Cx^2$ повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1.

На чертеже есть парабола и три точки $A$, $B$, $C$. Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины $O$ параболы до прямой $AC$ равно 2. Найдите площадь треугольника $OAB$, если $AC=4$, а $BC=3$.

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $y=a-bx^2$). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$, и при этом $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, а медианы треугольника пересекаются в точке $E$. Треугольник $ABC$ расположен на координатной плоскости $Oxy$ так, что точка $A$ лежит на оси $Oy$, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно оси $Oy$, а точки $C$, $D$ и $E$ лежат на графике функции $y=\left(x^2-5\right)^2$. Найти уравнение прямой $CD$ и площадь треугольника $ABC$.

В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.

Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению \[ |y-x|=(y+x+1)(5-x-y), \] а стороны параллельны прямым $y=x$ и $y=-x$? В ответ запишите квадрат значения найденной площади.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ y^2x^6-729=8yx^6-16x^6, \] а точка $B$ — множеству решений уравнения \[ |x|+|y-4|=3? \] В ответ запишите квадрат найденной наименьшей длины.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ 5x^2+5y^2-10x-20y+24=0, \] а точка $B$ — одному из графиков семейства функций \[ y=\left(k^2+2k+3\right)|x-3|, \] $k\in\mathbb{R}$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью равной 5000 км, малой — 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x^2+4y^2=25$.
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$. С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+1)^2=-9\cdot(x-7)/4$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопились сотни тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства может быть существенно осложнено возрастающей угрозой столкновения с этим мусором. Согласно результатам исследований удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью, равной 9000 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Пусть уравнение траектории движения обломка задано следующим образом: $81x^2+65(y-4)^2=5265$. На некотором удалении от указанной орбиты находится космическая научная станция, уравнение движения которой $36x^2+20(y-4)^2=720$. С нее стартует летательный аппарат, который движется по переходной эллиптической траектории: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y-y_0)^2}{z^2}=1$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Известно, что скорость движения по эллиптической орбите вида $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{(y-c)^2}{a^2}=1$, $a\geqslant b$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, с большой полуосью, равной $a$, вычисляется по формуле \[ V=\sqrt{\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)}, \] $\mu\approx3{,}9\cdot10^5$ км$^3$/с$^2$ — гравитационный потенциал Земли, $r$ — расстояние от начала координат, расположенного в одном из фокусов эллипса, до движущейся точки.
Найдите максимальную скорость движения осколков космического мусора на указанной орбите. Определите параметры $z$, $y_0$, если известно, что переходная траектория должна проходить через точку, в которой скорость движения обломков максимальна и проходить через точку орбиты научной станции, в которой скорость движения станции минимальна. Выпишите уравнение переходной орбиты.

Для производственного процесса необходимо изготовить лекало из металлической пластины-заготовки, которая имеет форму прямоугольной трапеции. В заготовке имеется технологическое отверстие, которое можно принять за точку, расположенную в 2 см от меньшей боковой стороны, имеющей длину 4,5 см, и в 0,5 см от большего основания трапеции. Длины оснований трапеции равны 1,5 см и 6 см. Требуется провести на пластине кривую линию разреза так, чтобы расстояние от любой точки этой линии до большего основания трапеции было бы равно расстоянию от этой точки до технологического отверстия. Определите, в каком отношении линия разреза делит каждую из боковых сторон пластины.

Найдите наименьшую длину отрезка $AB$, если точка $A$ принадлежит множеству, задаваемому уравнением $y^2-3x^2-2xy-9-12x=0$, а точка $B$ — множеству, задаваемому уравнением $x^2-8y+23+6x+y^2=0$.

Гипербола $y=5/x$ пересекается с прямой $2x+y=12$ в точках $A$ и $B$, а с прямой $x+2y=8$ — в точках $C$ и $D$. Найдите координаты точки, равноудалённой от точек $A$, $B$ и $C$.