Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их гранях с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 8. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
Ответ:
Решение:
На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой 1. Например, если попытаться напечатать число 1231234, то пропечатается только число 23234.
Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?
Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?
Ответ:
Решение:
У Дениса есть карточки с числами от 1 до 50. Сколько существует способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5?
Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.
Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.
Ответ:
Решение:
Петя записал на доску 20 натуральных чисел $1, 2, \ldots, 20$. Вася сначала стёр все чётные числа, а затем стёр все числа, дающие остаток 4 при делении на 5. Сколько чисел осталось на доске?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных семизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 7, две цифры 0 и три цифры 9?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных шестизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 1, две цифры 0 и две цифры 3?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?
Ответ:
Решение:
Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 3 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $27^{45}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным $1$) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа $7$ с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $49^{68}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 7 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $343^{36}$.
Ответ:
Решение:
Из карточек, на которых написаны цифры 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4 составляются натуральные числа, делящиеся на 36. Сколькими способами это можно сделать? (некоторые карточки при составлении чисел можно не использовать, число не может начинаться на 0).
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 70$, $1\leqslant b\leqslant 50$, и при этом площадь $S$ фигуры, заданной системой неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\geqslant 1,\\ x\leqslant a,\\ y\leqslant b, \end{cases} \] такова, что число $2S$ кратно $5$.
Ответ:
Решение:
Есть восемь карточек с цифрами $0$, $1$, $2$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на $15$, которые можно сложить из этих карточек?
Ответ:
Решение:
Число $58964$ написали $8$ раз подряд, при этом получилось $40$-значное число \[ 5896458964589645896458964589645896458964. \] Из этого $40$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $38$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Число $72350$ написали семь раз подряд, при этом получилось $35$-значное число \[ 72350723507235072350723507235072350. \] Из этого $35$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $33$-значное число делилось на $15$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение: