Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами трапеций.
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного $12$-угольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного девятиугольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $18$ параллельных между собой прямых, в другом $27$ параллельных между собой прямых, в третьем — $32$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
На клетчатой доске размера $22\times 25$ (длина стороны клетки равна $1$) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины $7$ и $4$ (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольный треугольник с катетами, равными 7 клеткам (катеты идут по линиям сетки). Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество треугольников можно найти на этом рисунке?
Ответ:
Решение:
В кошельке у купца Ганса лежат 20 серебряных монет по 2 кроны, 15 серебряных монет по 3 кроны и 3 золотых дуката (1 дукат равен 5 крон). Сколькими способами Ганс может уплатить сумму в 10 дукатов? Монеты одного достоинства неразличимы.
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.
Ответ:
Решение:
Привокзальные часы имеют три электронных циферблата, которые показывают текущее время в часах, минутах и секундах соответственно. Очередные сутки начинаются, когда на табло часов светятся три нуля, а заканчиваются в $23$ часа $59$ минут $59$ секунд. Сколько раз в течение суток сумма числа часов и минут на них равняется числу секунд?
Ответ:
Решение:
Найти зависимость от $n$ числа целых неотрицательных решений уравнения \[ x_1+x_2+\ldots+x_n=m \] при $m=2$ и $m=3$. При каком $n$ число решений для $m=3$ будет в четыре раза большим, чем число решений для $m=2$?
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного $50$-угольника разместили $49$ белых и $1$ чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На сторонах треугольника $ABC$ отметили точки: 10 — на стороне $AB$, 11 — на стороне $BC$, 12 — на стороне $AC$. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
На плоскости проведены $3$ семейства по $7$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый $15$-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин).
Ответ:
Решение:
Прямоугольник, составленный из одинаковых квадратных клеток, назовём чётным, если он содержит чётное число клеток.
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Ответ:
Решение:
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
Девочки мелом нарисовали на асфальте 7 прямых, параллельных бордюру. Мальчики пририсовали 5 параллельных между собой прямых, каждая из которых пересекает все прямые, нарисованные девочками. Сколько всего параллелограммов получилось при пересечении этих прямых?
Ответ:
Решение:
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение: